For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Ein Kreissektor wird von zwei Radien und dem dazwischenliegenden Kreisbogen begrenzt. Die beiden Radien bilden einen Winkel mit Scheitel im Kreismittelpunkt. Diesen Winkel nennen wir Mittelpunktswinkel. Ein geöffnetes Fächerblatt oder ein Tortenstück zeigt dieselbe Form.
Der Mittelpunktswinkel bestimmt, welchen Anteil des Kreises der Sektor einnimmt. Ein größerer Winkel erzeugt bei gleichem Radius einen größeren Sektor, ein kleinerer Winkel einen kleineren. Genau diese Proportionalität verwenden wir bei der Flächenberechnung.
Ein Mittelpunktswinkel lässt sich an drei Merkmalen erkennen:
Sektoren desselben Kreises haben genau dann dieselbe Fläche, wenn ihre Mittelpunktswinkel gleich groß sind. So lässt sich ein Kreis über gleiche Winkel in flächengleiche Teile zerlegen.
Ein Vollwinkel gehört zur gesamten Kreisfläche. Für einen Sektor ergeben sich deshalb zwei gebräuchliche Formeln:
Für Winkel in Grad:
Für Winkel im Bogenmaß:
Dabei bezeichnet:
Bei festem Radius ist die Sektorfläche proportional zum Winkel. Verdoppelt sich der Winkel, verdoppelt sich die Fläche; halbiert sich der Winkel, halbiert sich auch die Fläche.
Prüfe zuerst die Lage des Scheitels: Beim Mittelpunktswinkel liegt er im Kreismittelpunkt, beim Umfangswinkel dagegen auf der Kreislinie. Außerdem müssen beide Schenkel des Mittelpunktswinkels Radien sein.
Mögliche Bestimmungen:
Ist der Winkel bekannt, lassen sich daraus die zugehörige Sektorfläche und die Bogenlänge berechnen.
Der grundlegende Satz beschreibt die direkte Beziehung zwischen Winkel und Bogen:
Hauptsatz:
Wichtige Eigenschaften:
Diese Eigenschaften verbinden Mittelpunktswinkel, Bogenmaß und Sektorfläche innerhalb eines Kreises. Dabei ist das Gradmaß eines Bogens von seiner physikalischen Länge zu unterscheiden.
Je nach gegebenen Größen lässt sich der Mittelpunktswinkel auf drei Arten bestimmen:
Aus Sektorfläche und Radius:
Aus Bogenlänge und Radius:
Aus gleicher Kreisteilung:
Dabei bezeichnet:
Welche Formel passt, entscheidet also die Aufgabenangabe: Fläche, Bogenlänge oder Anzahl gleicher Teile.
Beispiele für gleich große Kreisteile:
In jedem Beispiel sind die Teile gleich groß. Deshalb sind auch ihre Mittelpunktswinkel gleich.
