For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Bogenlänge und Sektorfläche werden vom selben Mittelpunktswinkel bestimmt. Bei einem drehenden Fahrradrad gilt anschaulich: Je größer der Drehwinkel, desto länger ist der Weg eines Punktes am Rand und desto größer ist die vom Radius überstrichene Fläche.
Ändert sich der Mittelpunktswinkel, ändern sich beide Größen im gleichen Verhältnis zum gesamten Umfang beziehungsweise zur gesamten Kreisfläche.
Das Grundverhältnis, das die Bogenlänge und die Sektorfläche zum gesamten Kreis verbindet, kann wie folgt ausgedrückt werden:
Alle drei Brüche beschreiben denselben Anteil am vollständigen Kreis.
Aus der Proportion folgen die beiden bekannten Formeln:
Eliminieren wir den Winkelanteil, erhalten wir einen direkten Zusammenhang:
Die folgenden Beispiele zeigen dasselbe Verhältnis für verschiedene Mittelpunktswinkel.
Für jeden Mittelpunktswinkel gilt damit:
Oder in vollständiger Formelform:
Auf demselben Kreis gehören zu gleich großen Mittelpunktswinkeln gleich lange Bögen und gleich große Sektoren. Bei benachbarten Winkeln addieren sich auch die zugehörigen Bogenlängen und Sektorflächen.
Eratosthenes, der etwa lebte, nutzte dieselbe Proportion zur Abschätzung des Erdumfangs. Zur Sommersonnenwende stand die Sonne in Syene senkrecht, während ein senkrechter Stab in Alexandria eine Winkeldifferenz von zeigte. Die Entfernung zwischen beiden Orten wurde mit angesetzt.
Verwendung der proportionalen Beziehung:
Die genaue Länge eines antiken Stadions ist nicht sicher bekannt. Mit einer häufig verwendeten Umrechnung entspricht das Ergebnis ungefähr .
Setzen wir Bogenlänge und Sektorfläche desselben Winkels ins Verhältnis, folgt:
Das Verhältnis hängt nur vom Radius ab, nicht von der Größe des Mittelpunktswinkels.
Ein Kreis hat den Radius . Die Bogenlänge eines Sektors beträgt . Bestimme seine Fläche.
Ein Sektor hat die Fläche und die Bogenlänge . Bestimme den Kreisradius.
Zwei Orte liegen auf demselben Großkreis und sind voneinander entfernt. Der zugehörige Mittelpunktswinkel der Erde beträgt . Schätze den Erdumfang.
Lösungsschritte:
Gegeben: , Bogenlänge =
Verwendet wird:
Lösungsschritte:
Gegeben: Sektorfläche = , Bogenlänge =
Verwendet wird:
Lösungsschritte:
Gegeben: Abstand = , Winkel =
Verwenden des Verhältnisses:
