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Ein Plan kann gleichzeitig ein Budget einhalten und eine Mindestteilnehmerzahl erreichen müssen. Jede Bedingung schließt einen Teil der Möglichkeiten aus. Ein lineares Ungleichungssystem beschreibt die Entscheidungen, die alle Bedingungen zugleich erfüllen.
Ein lineares Ungleichungssystem ist eine Sammlung von zwei oder mehr linearen Ungleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen. Lineare Ungleichungen haben die Form:
Dabei sind die Koeffizienten, die Variablen und eine Konstante. Als Ungleichheitszeichen kommen infrage.
Der grundlegende Unterschied liegt in der Beziehung zwischen den beiden Seiten:
Ein lineares Ungleichungssystem mit zwei Variablen enthält mindestens zwei Ungleichungen in den Variablen und :
Beispiel:
Die Lösung dieses Systems ist die Menge geordneter Paare , die alle Ungleichungen gleichzeitig erfüllen.
Bei zwei Variablen lässt sich die Lösungsmenge grafisch in drei Schritten bestimmen.
Ersetze in jeder Ungleichung das Ungleichheitszeichen durch ein Gleichheitszeichen und zeichne die entstehende Grenzgerade.
Beispiel:
Zum System:
Zeichne die Geraden:
Für jede Ungleichung wird eine Seite der Grenzgeraden ausgewählt:
Beispiel:
Prüfe für den Punkt :
(wahr)
Die Lösung ist die Halbebene mit dem Punkt , also die Fläche unterhalb der Geraden .
Prüfe für wieder den Punkt :
(falsch)
Diesmal gehört die Halbebene ohne den Punkt zur Lösung. Sie liegt oberhalb der Geraden .
Die Lösung des Systems ist die Schnittmenge aller Halbebenen, also die Fläche, in der jede Bedingung gleichzeitig erfüllt ist.
Für die Darstellung gilt:
Betrachte das System:
Prüfe, ob und zur Lösungsmenge gehören.
Setze in beide Ungleichungen ein:
Beide Aussagen sind wahr, also ist eine Lösung.
Prüfe nun :
Die zweite Aussage ist falsch, also ist keine Lösung. Die beiden Grenzgeraden schneiden sich in , doch dieser Punkt ist nur ein Teil der Lösung. Die vollständige Lösung ist der gesamte Überlappungsbereich einschließlich beider durchgezogenen Grenzen.
Lineare Ungleichungssysteme beschreiben die zulässigen Entscheidungen in Optimierungsproblemen, etwa bei:
Ein Optimierungsmodell benötigt außerdem ein Ziel, etwa minimale Kosten oder maximale Produktion. Die Ungleichungen allein legen fest, welche Entscheidungen zulässig sind.
Kiki organisiert in ihrer Nachbarschaft eine Feier zum Unabhängigkeitstag. Aus dem Gemeinschaftsfonds stehen zur Verfügung. Die Organisation von Wettbewerben kostet pro Kind. Die Preise für die Gewinner sind für jede Wettbewerbsart mit veranschlagt. Es wird erwartet, dass mehr als Kinder teilnehmen werden.
Definieren wir:
Das mathematische Modell ist:
Wenn wir vereinfachen:
Die Grafik zeigt den zusammenhängenden zulässigen Bereich. Da Teilnehmer und Wettbewerbe nur in ganzen Zahlen gezählt werden können, sind die gültigen Pläne genau die positiven ganzzahligen Punkte in diesem Bereich.
Gehe bei einer Sachaufgabe in dieser Reihenfolge vor:
| Aspekt | Lineare Gleichungssysteme | Lineare Ungleichungssysteme |
|---|---|---|
| Operationszeichen | Verwendet Gleichheitszeichen () | Verwendet Ungleichheitszeichen () |
| Lösungsform | Gemeinsame Punkte aller Gleichungen | Die gemeinsame zulässige Menge aller Ungleichungen |
| Grafische Darstellung | Gemeinsame Punkte der Geraden | Schnitt der schattierten Halbebenen |
| Lösungsmethoden | Substitution, Eliminierung, Determinanten | Grafik, Zulässigkeitsprüfung und lineare Optimierung bei vorhandener Zielfunktion |
| Anzahl der Lösungen | Keine, eine oder unendlich viele | Leer, ein Punkt oder Randstück, oder ein Bereich mit unendlich vielen reellen Lösungen |
| Zeichnung | Verwendet immer durchgezogene Linien | Durchgezogene Linien für und gestrichelte Linien für |
Jede Ungleichung legt eine zulässige Halbebene fest. Bei mehreren Ungleichungen erfüllt nur der Schnitt dieser Halbebenen alle Bedingungen.
Die interaktive Darstellung zeigt genau diese Überlagerung.
Betrachte das folgende System:
Der blaue Bereich erfüllt . Er enthält alle Punkte unterhalb oder auf der Geraden .
Der rote Bereich erfüllt . Er enthält alle Punkte oberhalb oder auf der Geraden .
Der violette Überlappungsbereich erfüllt beide Bedingungen und ist damit die Lösung des Systems.
Achte auf drei Elemente:
Die beiden Grenzgeraden schneiden sich in . Dieser Punkt ist ein Randpunkt der zulässigen Menge, nicht die gesamte Lösung.
Dasselbe Vorgehen lässt sich auf Sachaufgaben übertragen: Jede Bedingung erzeugt einen Bereich, und nur ihre Schnittmenge erfüllt alle Bedingungen gleichzeitig.
