Matrixgleichheit

Matrixformat und Einträge positionsweise vergleichen

Bei der Matrixgleichheit werden Aufbau und Inhalt zugleich verglichen. Gleiche Zahlen reichen nicht aus, wenn sie an verschiedenen Positionen stehen oder die Matrizen unterschiedliche Formate haben.

Die Matrizen $A$ und $B$ sind genau dann $gleich$ , geschrieben $A=B$ , wenn beide Bedingungen erfüllt sind:

$Gleiches Format$ : Matrix $A$ und Matrix $B$ müssen gleich viele Zeilen und Spalten haben. Hat $A$ das Format $m \times n$ , dann muss auch $B$ das Format $m \times n$ haben.
$Entsprechende Elemente sind gleich$ : Jedes entsprechende Element (an derselben Zeilen- und Spaltenposition) in der Matrix $A$ und der Matrix $B$ muss den gleichen Wert haben. Wenn $A = [a_{ij}]$ und $B = [b_{ij}]$ , dann $a_{ij} = b_{ij}$ für alle Werte von $i$ (Zeilenindex) und $j$ (Spaltenindex).

Wenn eine dieser beiden Bedingungen nicht erfüllt ist, ist die Matrix $A$ nicht gleich der Matrix $B$ (geschrieben als $A \neq B$ ).

Beispiele für Matrixgleichheit

Über die Gleichheit zweier Matrizen entscheiden zwei Prüfungen. Beide Matrizen müssen dasselbe Format haben, danach muss jedes Element an derselben Position übereinstimmen. Die Beispiele zeigen ein Paar, das beide Prüfungen besteht, und zwei Paare, die $genau eine Prüfung nicht bestehen$ , danach folgt ein Fall mit unbekannten Variablen.

Gleiche Matrizen

Gegeben sind zwei Matrizen:

P = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \quad \text{und} \quad Q = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

Matrix $P$ und Matrix $Q$ sind gleich ( $P=Q$ ), weil:

Beide haben das Format $2 \times 2$ .
$Entsprechende Elemente$ haben den gleichen Wert:

$p_{11} = q_{11} = 1$ , $p_{12} = q_{12} = 2$ , $p_{21} = q_{21} = 3$ , $p_{22} = q_{22} = 4$ .

Ungleiche Matrizen mit unterschiedlichem Format

Gegeben sind zwei Matrizen:

\begin{aligned} &R = \begin{bmatrix} 4 & -9 \\ 7 & 1 \end{bmatrix} \\ &\text{und} \\ &C = \begin{bmatrix} 4 & -9 \\ 7 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned}

Matrix $R$ ist nicht gleich Matrix $C$ ( $R \neq C$ ), weil $R$ das $Format$ $2 \times 2$ und $C$ das Format $3 \times 2$ hat.

Ungleiche Matrizen durch verschiedene korrespondierende Elemente

Gegeben sind zwei Matrizen:

S = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ -2 & 8 \end{bmatrix} \quad \text{und} \quad T = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 2 & 8 \end{bmatrix}

Obwohl $S$ und $T$ dasselbe Format $2 \times 2$ haben, sind sie nicht gleich ( $S \neq T$ ). $In Zeile$ $2$ , Spalte $1$ gilt $s_{21} = -2$ , aber $t_{21} = 2$ .

Variablenwerte aus Matrixgleichheit ermitteln

Gegeben sind die folgenden Matrizen:

A = \begin{bmatrix} -x & 2 \\ -3y & z^2 \end{bmatrix}

Wenn die Matrix $A$ gleich der Matrix $B$ ( $A=B$ ) ist, bestimme die Werte von $x$ , $y$ und $z$ .

$Lösung$ :

Da $A=B$ müssen $die entsprechenden Elemente gleich sein$ :

Position	Gleichung und Lösung
(1, 1)	$a_{11} = b_{11} \implies -x = -1 \implies x = 1$
(1, 2)	$a_{12} = b_{12} \implies 2 = 2$ (bereits gleich)
(2, 1)	$a_{21} = b_{21} \implies -3y = 6 \implies y = \frac{6}{-3} \implies y = -2$
(2, 2)	$a_{22} = b_{22} \implies z^2 = 9 \implies z = \pm\sqrt{9} \implies z = 3 \text{ oder } z = -3$

Daher lauten die Werte $x=1$ , $y=-2$ und $z = \pm 3$ .

Übungen

Entscheide bei den ersten drei Aussagen, ob sie $wahr$ oder $falsch$ sind.

Das gleiche Format ist eine Bedingung, die zwei gleiche Matrizen erfüllen müssen.
Zwei ungleiche Matrizen haben immer unterschiedliche Formate.
Die beiden folgenden Matrizen sind gleich.
$K = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$
Für die folgenden Matrizen gilt $P=Q$ . Bestimme $x$ und $y$ .
$P = \begin{bmatrix} 2x & 4 \\ -1 & y+3 \end{bmatrix}$
Matrix $I$ ist die Identitätsmatrix im Format $2 \times 2$ . Für die folgende Matrix $A$ gilt $A = I$ . Bestimme $x+y$ .

$A = \begin{bmatrix} -x-3y & 0 \\ (x-2y)^2 & 1 \end{bmatrix}$
Berechne den Wert von $a+b+c+d$ , der die folgende Matrixgleichung erfüllt:

$\begin{bmatrix} a+2b & 2a+b \\ c+d & 2c+d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -3 \\ 7 & 1 \end{bmatrix}$

Ausführliche Lösungen

$Wahr$ . Gleiche Matrizen müssen dasselbe Format haben, auch wenn diese Bedingung allein noch nicht ausreicht.
$Falsch$ . Zwei ungleiche Matrizen können dasselbe Format haben, sich aber in einem oder mehreren entsprechenden Einträgen unterscheiden, wie in Beispiel 3.
$Falsch$ . Matrix $K$ hat das Format $2 \times 2$ , Matrix $L$ dagegen das Format $3 \times 2$ . Matrizen mit unterschiedlichen Formaten können nicht gleich sein.

$Aufgabe 4$ . Gegeben $P=Q$ :

\begin{bmatrix} 2x & 4 \\ -1 & y+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 & 4 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}

Aus der $Gleichheit entsprechender Elemente$ :

$2x = -10 \implies x = -5$
$y+3 = 2 \implies y = 2-3 \implies y = -1$
Also $x=-5$ und $y=-1$ .

$Aufgabe 5$ . Die Identitätsmatrix im Format $2 \times 2$ lautet:

I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Gegeben $A=I$ :

\begin{bmatrix} -x-3y & 0 \\ (x-2y)^2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Aus der $Gleichheit entsprechender Elemente$ erhalten wir ein Gleichungssystem:

$-x-3y = 1$ (Gleichung 1)
$(x-2y)^2 = 0$ (Gleichung 2)

Löse zuerst Gleichung 2:

(x-2y)^2 = 0

Setze Gleichung 2' in Gleichung 1 ein:

-(2y)-3y = 1

Setze $y = -\frac{1}{5}$ in Gleichung 2' ein:

x = 2\left(-\frac{1}{5}\right)

Dann ist der Wert von $x+y$ :

x+y = \left(-\frac{2}{5}\right) + \left(-\frac{1}{5}\right)

$Aufgabe 6$ . Für die Matrixgleichung:

\begin{bmatrix} a+2b & 2a+b \\ c+d & 2c+d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -3 \\ 7 & 1 \end{bmatrix}

Aus der $Gleichheit entsprechender Elemente$ erhalten wir ein Gleichungssystem:

$a+2b = 3$
$2a+b = -3$
$c+d = 7$
$2c+d = 1$

Löse zunächst Gleichungen 1 und 2 nach $a$ und $b$ auf:

Ausgangsgleichungen:

a+2b = 3 \quad \text{(1)}

Multipliziere Gleichung 2 mit $2$ , damit sich $b$ beim Subtrahieren aufhebt:

2(2a+b) = 2(-3)

Subtrahiere Gleichung 1 von Gleichung 2':

(4a+2b) - (a+2b) = -6 - 3

Setze $a=-3$ in Gleichung 1 ein:

-3+2b=3

Löse nun Gleichungen 3 und 4 nach $c$ und $d$ auf:

Ausgangsgleichungen:

c+d = 7 \quad \text{(3)}

Subtrahiere Gleichung 3 von Gleichung 4, damit $d$ wegfällt:

(2c+d) - (c+d) = 1 - 7

Setze $c=-6$ in Gleichung 3 ein:

-6+d=7

Dann ist der Wert von $a+b+c+d$ :

\begin{aligned} &a+b+c +d \\ &= (-3) + 3 + (-6) + 13 \end{aligned}

Matrixformat und Einträge positionsweise vergleichen

Bei der Matrixgleichheit werden Aufbau und Inhalt zugleich verglichen. Gleiche Zahlen reichen nicht aus, wenn sie an verschiedenen Positionen stehen oder die Matrizen unterschiedliche Formate haben.

Die Matrizen $A$ und $B$ sind genau dann $gleich$ , geschrieben $A=B$ , wenn beide Bedingungen erfüllt sind:

$Gleiches Format$ : Matrix $A$ und Matrix $B$ müssen gleich viele Zeilen und Spalten haben. Hat $A$ das Format $m \times n$ , dann muss auch $B$ das Format $m \times n$ haben.
$Entsprechende Elemente sind gleich$ : Jedes entsprechende Element (an derselben Zeilen- und Spaltenposition) in der Matrix $A$ und der Matrix $B$ muss den gleichen Wert haben. Wenn $A = [a_{ij}]$ und $B = [b_{ij}]$ , dann $a_{ij} = b_{ij}$ für alle Werte von $i$ (Zeilenindex) und $j$ (Spaltenindex).

Wenn eine dieser beiden Bedingungen nicht erfüllt ist, ist die Matrix $A$ nicht gleich der Matrix $B$ (geschrieben als $A \neq B$ ).

Beispiele für Matrixgleichheit

Gleiche Matrizen

Gegeben sind zwei Matrizen:

P = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \quad \text{und} \quad Q = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

Matrix $P$ und Matrix $Q$ sind gleich ( $P=Q$ ), weil:

Beide haben das Format $2 \times 2$ .
$Entsprechende Elemente$ haben den gleichen Wert:

$p_{11} = q_{11} = 1$ , $p_{12} = q_{12} = 2$ , $p_{21} = q_{21} = 3$ , $p_{22} = q_{22} = 4$ .

Ungleiche Matrizen mit unterschiedlichem Format

Gegeben sind zwei Matrizen:

\begin{aligned} &R = \begin{bmatrix} 4 & -9 \\ 7 & 1 \end{bmatrix} \\ &\text{und} \\ &C = \begin{bmatrix} 4 & -9 \\ 7 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned}

Matrix $R$ ist nicht gleich Matrix $C$ ( $R \neq C$ ), weil $R$ das $Format$ $2 \times 2$ und $C$ das Format $3 \times 2$ hat.

Ungleiche Matrizen durch verschiedene korrespondierende Elemente

Gegeben sind zwei Matrizen:

S = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ -2 & 8 \end{bmatrix} \quad \text{und} \quad T = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 2 & 8 \end{bmatrix}

Obwohl $S$ und $T$ dasselbe Format $2 \times 2$ haben, sind sie nicht gleich ( $S \neq T$ ). $In Zeile$ $2$ , Spalte $1$ gilt $s_{21} = -2$ , aber $t_{21} = 2$ .

Variablenwerte aus Matrixgleichheit ermitteln

Gegeben sind die folgenden Matrizen:

A = \begin{bmatrix} -x & 2 \\ -3y & z^2 \end{bmatrix}

Wenn die Matrix $A$ gleich der Matrix $B$ ( $A=B$ ) ist, bestimme die Werte von $x$ , $y$ und $z$ .

$Lösung$ :

Da $A=B$ müssen $die entsprechenden Elemente gleich sein$ :

Position	Gleichung und Lösung
(1, 1)	$a_{11} = b_{11} \implies -x = -1 \implies x = 1$
(1, 2)	$a_{12} = b_{12} \implies 2 = 2$ (bereits gleich)
(2, 1)	$a_{21} = b_{21} \implies -3y = 6 \implies y = \frac{6}{-3} \implies y = -2$
(2, 2)	$a_{22} = b_{22} \implies z^2 = 9 \implies z = \pm\sqrt{9} \implies z = 3 \text{ oder } z = -3$

Daher lauten die Werte $x=1$ , $y=-2$ und $z = \pm 3$ .

Übungen

Entscheide bei den ersten drei Aussagen, ob sie $wahr$ oder $falsch$ sind.

Das gleiche Format ist eine Bedingung, die zwei gleiche Matrizen erfüllen müssen.
Zwei ungleiche Matrizen haben immer unterschiedliche Formate.
Die beiden folgenden Matrizen sind gleich.
$K = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$
Für die folgenden Matrizen gilt $P=Q$ . Bestimme $x$ und $y$ .
$P = \begin{bmatrix} 2x & 4 \\ -1 & y+3 \end{bmatrix}$
Matrix $I$ ist die Identitätsmatrix im Format $2 \times 2$ . Für die folgende Matrix $A$ gilt $A = I$ . Bestimme $x+y$ .

$A = \begin{bmatrix} -x-3y & 0 \\ (x-2y)^2 & 1 \end{bmatrix}$
Berechne den Wert von $a+b+c+d$ , der die folgende Matrixgleichung erfüllt:

$\begin{bmatrix} a+2b & 2a+b \\ c+d & 2c+d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -3 \\ 7 & 1 \end{bmatrix}$

Ausführliche Lösungen

$Wahr$ . Gleiche Matrizen müssen dasselbe Format haben, auch wenn diese Bedingung allein noch nicht ausreicht.
$Falsch$ . Zwei ungleiche Matrizen können dasselbe Format haben, sich aber in einem oder mehreren entsprechenden Einträgen unterscheiden, wie in Beispiel 3.
$Falsch$ . Matrix $K$ hat das Format $2 \times 2$ , Matrix $L$ dagegen das Format $3 \times 2$ . Matrizen mit unterschiedlichen Formaten können nicht gleich sein.

$Aufgabe 4$ . Gegeben $P=Q$ :

\begin{bmatrix} 2x & 4 \\ -1 & y+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 & 4 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}

Aus der $Gleichheit entsprechender Elemente$ :

$2x = -10 \implies x = -5$
$y+3 = 2 \implies y = 2-3 \implies y = -1$
Also $x=-5$ und $y=-1$ .

$Aufgabe 5$ . Die Identitätsmatrix im Format $2 \times 2$ lautet:

I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Gegeben $A=I$ :

\begin{bmatrix} -x-3y & 0 \\ (x-2y)^2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Aus der $Gleichheit entsprechender Elemente$ erhalten wir ein Gleichungssystem:

$-x-3y = 1$ (Gleichung 1)
$(x-2y)^2 = 0$ (Gleichung 2)

Löse zuerst Gleichung 2:

(x-2y)^2 = 0

Setze Gleichung 2' in Gleichung 1 ein:

-(2y)-3y = 1

Setze $y = -\frac{1}{5}$ in Gleichung 2' ein:

x = 2\left(-\frac{1}{5}\right)

Dann ist der Wert von $x+y$ :

x+y = \left(-\frac{2}{5}\right) + \left(-\frac{1}{5}\right)

$Aufgabe 6$ . Für die Matrixgleichung:

\begin{bmatrix} a+2b & 2a+b \\ c+d & 2c+d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -3 \\ 7 & 1 \end{bmatrix}

Aus der $Gleichheit entsprechender Elemente$ erhalten wir ein Gleichungssystem:

$a+2b = 3$
$2a+b = -3$
$c+d = 7$
$2c+d = 1$

Löse zunächst Gleichungen 1 und 2 nach $a$ und $b$ auf:

Ausgangsgleichungen:

a+2b = 3 \quad \text{(1)}

Multipliziere Gleichung 2 mit $2$ , damit sich $b$ beim Subtrahieren aufhebt:

2(2a+b) = 2(-3)

Subtrahiere Gleichung 1 von Gleichung 2':

(4a+2b) - (a+2b) = -6 - 3

Setze $a=-3$ in Gleichung 1 ein:

-3+2b=3

Löse nun Gleichungen 3 und 4 nach $c$ und $d$ auf:

Ausgangsgleichungen:

c+d = 7 \quad \text{(3)}

Subtrahiere Gleichung 3 von Gleichung 4, damit $d$ wegfällt:

(2c+d) - (c+d) = 1 - 7

Setze $c=-6$ in Gleichung 3 ein:

-6+d=7

Dann ist der Wert von $a+b+c+d$ :

\begin{aligned} &a+b+c +d \\ &= (-3) + 3 + (-6) + 13 \end{aligned}