Inverse einer Matrix

Eine Matrix mit ihrer Inversen multiplizieren

In der Menge der reellen Zahlen hat jede von Null verschiedene Zahl $a$ einen Kehrwert, nämlich die Zahl $a^{-1}$, die die Eigenschaft $a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1$ erfüllt. Ein ähnliches Konzept gilt für Matrizen.

Ist $A$ eine quadratische Matrix, zum Beispiel eine $n \times n$-Matrix, und $I$ die gleich große Einheitsmatrix, dann heißt $A^{-1}$ die Inverse von $A$, wenn folgende Gleichung gilt:

Die Einheitsmatrix $I$ ist eine quadratische Matrix, deren Hauptdiagonale nur aus $1$ besteht und deren übrige Einträge $0$ sind. Für das Format $2 \times 2$ gilt zum Beispiel:

Nichtsinguläre und singuläre Matrizen

Nicht jede quadratische Matrix besitzt eine Inverse. Eine Matrix $A$ ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist, also $\det(A) \neq 0$ beziehungsweise $|A| \neq 0$ gilt. Ist die Determinante null, sind die Zeilen linear abhängig. Das System $A x = b$ hat dann keine eindeutige Lösung.

• Eine Matrix $A$ heißt nichtsingulär, wenn $\det(A) \neq 0$ gilt. Sie besitzt dann eine Inverse.
• Eine Matrix $A$ heißt singulär, wenn $\det(A) = 0$ gilt. Sie besitzt dann keine Inverse.

Inverse einer Matrix mit zwei Zeilen und zwei Spalten

Für eine $2 \times 2$-Matrix $A$ sei:

Wenn $\det(A) \neq 0$ gilt, lässt sich die Inverse von $A$ mit der folgenden Formel berechnen:

Die Formel besteht aus zwei Teilen:

1. Determinante der Matrix $A$ ($\det(A)$ oder $|A|$):

   Berechnet als:

   $$|A| = ad - bc$$

2. Adjugierte Matrix zu $A$ ($\text{Adj}(A)$):

   Sie entsteht, indem man die beiden Hauptdiagonaleinträge vertauscht und die Vorzeichen der beiden übrigen Einträge wechselt:

   $$\text{Adj}(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$

Damit lautet die vollständige Formel für die Inverse einer $2 \times 2$-Matrix:

Beispiel mit zwei Zeilen und zwei Spalten

Bestimme die Inverse der folgenden Matrix $P$:

Lösung:

Schritt 1: Lies die Einträge der Matrix $P$ ab.

Schritt 2: Berechne die Determinante von $P$.

Da $\det(P) \neq 0$ gilt, ist $P$ invertierbar.

Schritt 3: Bestimme die adjugierte Matrix zu $P$.

Schritt 4: Berechne die Inverse von $P$.

Die Matrix oben ist $P^{-1}$.

Wir prüfen das Ergebnis, statt uns nur auf die Formel zu verlassen:

Inverse einer Matrix mit drei Zeilen und drei Spalten

Für eine $3 \times 3$-Matrix gilt dasselbe Grundprinzip wie für eine $2 \times 2$-Matrix:

Allerdings sind die Determinante $\det(A)$ und die adjugierte Matrix $\text{Adj}(A)$ bei einer $3 \times 3$-Matrix aufwendiger zu berechnen.

• Die Determinante einer $3 \times 3$-Matrix lässt sich mit der Regel von Sarrus oder einer Kofaktorentwicklung berechnen.
• Die adjugierte Matrix einer $3 \times 3$-Matrix ist die Transponierte ihrer Kofaktormatrix.

Bei einer $3 \times 3$-Matrix beginnt die Rechnung mit der Determinante und der adjugierten Matrix. Beide Ergebnisse werden anschließend in die Inversenformel eingesetzt.

Alle Kofaktoren berechnen

Betrachte die folgende Dreiecksmatrix. Ihre Determinante ist das Produkt der Hauptdiagonaleinträge, also $1(1)(1)=1$. Damit existiert die Inverse. Streiche für jeden Kofaktor die zugehörige Zeile und Spalte, berechne die verbleibende Determinante und verwende das Vorzeichen $(-1)^{i+j}$.

Ordne die Kofaktoren in der Matrix $C$ an. Transponiere die Kofaktormatrix, um die Adjugierte zu erhalten. Die Division durch die Determinante 1 lässt alle Einträge unverändert.

Lineare Gleichungssysteme mit Inversen lösen

Eine Matrixinverse kann ein lineares Gleichungssystem lösen, wenn seine Koeffizientenmatrix invertierbar ist. In Matrixform lautet das System

Dabei ist $A$ die Koeffizientenmatrix, $X$ die Matrix der Unbekannten und $B$ die rechte Seite. Ist $A$ invertierbar, multiplizieren wir beide Seiten von links mit $A^{-1}$. Eine Multiplikation von rechts ergäbe ein anderes Produkt, weil die Matrixmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist:

Die Multiplikation beider Seiten von links mit $A^{-1}$ ergibt $X=A^{-1}B$. Die Reihenfolge muss erhalten bleiben, weil die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist.

Übungen

Vergleiche die Inverse einer Summe mit der Summe der beiden Inversen. Berechne jede Matrix und vergleiche die entsprechenden Einträge.

Gegeben sind die folgenden Matrizen:

1. Bestimme die Matrizen $X^{-1}$ und $Y^{-1}$.
2. Bestimme die Matrix $X^{-1} + Y^{-1}$.
3. Bestimme die Matrix $(X+Y)^{-1}$.
4. Ist die Matrix $X^{-1} + Y^{-1}$ gleich der Matrix $(X+Y)^{-1}$? Begründe deine Antwort.

Ausführliche Lösungen

1. Bestimmen von $X^{-1}$:

   $$X = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$$

   $$\begin{aligned} \det(X) &= (1)(4) - (-3)(-1) \\ &= 4 - 3 \\ &= 1 \end{aligned}$$

   $$\text{Adj}(X) = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$

   $$X^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$$

   Bestimmen von $Y^{-1}$:

   $$Y = \begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$$

   $$\begin{aligned} \det(Y) &= (-4)(-2) - (2)(3) \\ &= 8 - 6 \\ &= 2 \end{aligned}$$

   $$\text{Adj}(Y) = \begin{bmatrix} -2 & -2 \\ -3 & -4 \end{bmatrix}$$

   $$\begin{aligned} Y^{-1} &= \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -2 & -2 \\ -3 & -4 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -3/2 & -2 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

2. Bestimmen von $X^{-1} + Y^{-1}$:

   $$\begin{aligned} &X^{-1} + Y^{-1} \\ &= \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -3/2 & -2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 4-1 & 3-1 \\ 1-3/2 & 1-2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -1/2 & -1 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

3. Bestimmen von $(X+Y)^{-1}$:

   Berechne zunächst $X+Y$:

   $$\begin{aligned} &X+Y \\ &= \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 1-4 & -3+2 \\ -1+3 & 4-2 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -3 & -1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

   Setze $Z = X+Y$. Berechne $Z^{-1}$:

   $$\begin{aligned} \det(Z) &= (-3)(2) - (-1)(2) \\ &= -6 - (-2) \\ &= -6 + 2 \\ &= -4 \end{aligned}$$

   $$\text{Adj}(Z) = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}$$

   $$\begin{aligned} (X+Y)^{-1} &= Z^{-1} \\ &= \frac{1}{-4} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -2/4 & -1/4 \\ 2/4 & 3/4 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1/2 & -1/4 \\ 1/2 & 3/4 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

4. Vergleich von $X^{-1} + Y^{-1}$ und $(X+Y)^{-1}$:

   Aus den Berechnungen:

   $$X^{-1} + Y^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -1/2 & -1 \end{bmatrix}$$

   $$(X+Y)^{-1} = \begin{bmatrix} -1/2 & -1/4 \\ 1/2 & 3/4 \end{bmatrix}$$

   Die beiden Matrizen sind verschieden, also gilt $X^{-1} + Y^{-1} \neq (X+Y)^{-1}$. Die Inversenbildung ist nicht distributiv über der Addition. Dieselbe Regel gilt schon für gewöhnliche Kehrwerte: Im Allgemeinen ist $1/x+1/y\neq1/(x+y)$.