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Bei der Matrixgleichheit werden Aufbau und Inhalt zugleich verglichen. Gleiche Zahlen reichen nicht aus, wenn sie an verschiedenen Positionen stehen oder die Matrizen unterschiedliche Formate haben.
Die Matrizen und sind genau dann , geschrieben , wenn beide Bedingungen erfüllt sind:
Wenn eine dieser beiden Bedingungen nicht erfüllt ist, ist die Matrix nicht gleich der Matrix (geschrieben als ).
Gegeben sind zwei Matrizen:
Matrix und Matrix sind gleich (), weil:
Beide haben das Format .
Entsprechende Elemente haben den gleichen Wert:
, , , .
Gegeben sind zwei Matrizen:
Matrix ist nicht gleich Matrix (), weil das Format und das Format hat.
Gegeben sind zwei Matrizen:
Obwohl und dasselbe Format haben, sind sie nicht gleich (). In Zeile , Spalte gilt , aber .
Gegeben sind die Matrizen und .
Wenn die Matrix gleich der Matrix () ist, bestimme die Werte von , und .
Lösung:
Da müssen die entsprechenden Elemente gleich sein:
Daher lauten die Werte , und .
Entscheide bei jeder Aussage, ob sie wahr oder falsch ist.
Das gleiche Format ist eine Bedingung, die zwei gleiche Matrizen erfüllen müssen.
Zwei ungleiche Matrizen haben immer unterschiedliche Formate.
Wenn die Matrix und die Matrix gegeben sind, dann ist die Matrix gleich der Matrix .
Gegeben sind die Matrizen und . Wenn , bestimme die Werte von und .
Matrix ist die Identitätsmatrix im Format , und . Wenn , bestimme den Wert von .
Berechne den Wert von , der die folgende Matrixgleichung erfüllt:
Wahr. Gleiche Matrizen müssen dasselbe Format haben, auch wenn diese Bedingung allein noch nicht ausreicht.
Falsch. Zwei ungleiche Matrizen können dasselbe Format haben, sich aber in einem oder mehreren entsprechenden Einträgen unterscheiden, wie in Beispiel .
Falsch. Matrix hat das Format , Matrix dagegen das Format . Matrizen mit unterschiedlichen Formaten können nicht gleich sein.
Gegeben :
Die Identitätsmatrix im Format ist .
Für die Matrixgleichung:
Aus der Gleichheit entsprechender Elemente:
Also und .
Gegeben :
Aus der Gleichheit entsprechender Elemente erhalten wir ein Gleichungssystem:
Löse zuerst Gleichung :
Setze Gleichung in Gleichung ein:
Setze in Gleichung ein:
Dann ist der Wert von :
Aus der Gleichheit entsprechender Elemente erhalten wir ein Gleichungssystem:
Löse zunächst Gleichungen und nach und auf:
Ausgangsgleichungen:
Multipliziere Gleichung mit , damit sich beim Subtrahieren aufhebt:
Subtrahiere Gleichung von Gleichung :
Setze in Gleichung ein:
Löse nun Gleichungen und nach und auf:
Ausgangsgleichungen:
Subtrahiere Gleichung von Gleichung , damit wegfällt:
Setze in Gleichung ein:
Dann ist der Wert von :
