Matrizen verstehen

Zahlen aus einer Notentabelle als Matrix schreiben

Tabellen ordnen Informationen häufig in Zeilen und Spalten. Eine Notenübersicht kann zum Beispiel für jede Person eine Zeile und für jedes Fach eine Spalte verwenden. Eine $Matrix$ nutzt dieselbe rechteckige Anordnung, um Zahlen mathematisch zu verarbeiten.

Die Zahlen in einer Matrix heißen $Elemente$ oder $Einträge$ . Meist stehen sie zwischen runden Klammern $()$ oder eckigen Klammern $[]$ . Zeile und Spalte bestimmen, welche Größe ein Eintrag darstellt. Wird er verschoben, ändert sich seine Bedeutung.

Betrachten wir die Mathematik- und Englischnoten von drei Personen:

Name	Mathematik	Englisch
Aisyah	$80$	$75$
Alex	$70$	$95$
Wayan	$95$	$75$

Beschränken wir uns auf die Zahlen, erhalten wir die Matrix:

A = \begin{bmatrix} 80 & 75 \\ 70 & 95 \\ 95 & 75 \end{bmatrix}

Dieselbe Matrix lässt sich auch mit runden Klammern schreiben:

A = \begin{pmatrix} 80 & 75 \\ 70 & 95 \\ 95 & 75 \end{pmatrix}

Damit sind $80, 75, 70, 95, 95, 75$ die Elemente der Matrix $A$ .

Zeilen Spalten und Elemente

Drei Begriffe beschreiben den Aufbau einer Matrix:

Eine $Zeile$ ist eine waagerechte Folge von Elementen.
Eine $Spalte$ ist eine senkrechte Folge von Elementen.
Ein $Element$ ist ein Eintrag an einer bestimmten Zeilen- und Spaltenposition.

Für die Matrix $A$ gilt:

A = \begin{bmatrix} 80 & 75 \\ 70 & 95 \\ 95 & 75 \end{bmatrix}

$Zeile$ $1$ ist $[80 \ 75]$
$Zeile$ $2$ ist $[70 \ 95]$
$Zeile$ $3$ ist $[95 \ 75]$
$Spalte$ $1$ :

$\begin{bmatrix} 80 \\ 70 \\ 95 \end{bmatrix}$
$Spalte$ $2$ :

$\begin{bmatrix} 75 \\ 95 \\ 75 \end{bmatrix}$

Ein Element der Matrix $A$ wird als $a_{ij}$ geschrieben. Der $erste Index$ $i$ gibt die Zeile an, der zweite Index $j$ die Spalte.

A=[a_{ij}]_{m\times n}

Hier ist $m$ die Anzahl der Zeilen und $n$ die Anzahl der Spalten. Der Zeilenindex $i$ ist eine ganze Zahl mit $1\le i\le m$ . Der $Spaltenindex$ $j$ ist eine ganze Zahl mit $1\le j\le n$ . Diese Grenzen stellen sicher, dass jeder Index eine Position innerhalb der Matrix bezeichnet.

Für die Matrix oben bedeutet das:

Eintrag	Zeile	Spalte	Wert
$a_{11}$	$1$	$1$	$80$
$a_{12}$	$1$	$2$	$75$
$a_{21}$	$2$	$1$	$70$
$a_{22}$	$2$	$2$	$95$
$a_{31}$	$3$	$1$	$95$
$a_{32}$	$3$	$2$	$75$

Format einer Matrix

Das $Format$ einer Matrix $nennt zuerst die Anzahl der Zeilen$ und dann die Anzahl der Spalten. Eine Matrix mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten hat das Format $m \times n$ , gelesen als „ $m$ mal $n$ “.

Für die Matrix $A$ gilt:

A = \underbrace{\begin{bmatrix} 80 & 75 \\ 70 & 95 \\ 95 & 75 \end{bmatrix}}_{\text{2 Spalten}} \hspace{0.1em} \left. \vphantom{\begin{bmatrix} 80 \\ 70 \\ 95 \end{bmatrix}} \right\} \hspace{0.1em} \text{3 Zeilen}

Matrix $A$ hat $3$ Zeilen und $2$ Spalten. Ihr Format ist daher $3 \times 2$ und kann als $A_{3 \times 2}$ notiert werden.

$Ein weiteres Beispiel$ :

Eine Anwesenheitstabelle für ein Semester erfasse entschuldigte, krankheitsbedingte und unentschuldigte Fehltage:

Name	Entschuldigt	Krank	Unentschuldigt
Aisyah	$2$	$1$	$0$
Alex	$3$	$1$	$1$
Wayan	$1$	$2$	$1$

Die Zahlen bilden die Matrix $B$ :

B = \underbrace{\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}}_{\text{3 Spalten}} \hspace{0.1em} \left. \vphantom{\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}} \right\} \hspace{0.1em} \text{3 Zeilen}

Matrix $B$ hat $3$ Zeilen und $3$ Spalten. Ihr Format ist also $3 \times 3$ , geschrieben $B_{3 \times 3}$ .

Zum Beispiel:

$b_{11} = 2$ ist das Element in Zeile $1$ , Spalte $1$ .
$b_{23} = 1$ ist das Element in Zeile $2$ , Spalte $3$ .
$b_{32} = 2$ ist das Element in Zeile $3$ , Spalte $2$ .

Allgemeine Matrixnotation

Eine Matrix $A$ mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten lässt sich so schreiben:

A_{m\times n}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}

Die Notation bedeutet:

$A_{m \times n}$ ist die Matrix $A$ mit dem Format $m \times n$ .
$m$ ist die Anzahl der Zeilen.
$n$ ist die Anzahl der Spalten.
$a_{ij}$ ist das Element in Zeile $i$ und Spalte $j$ .

Matrixtypen und Matrixoperationen verwenden die $Zeilen- und Spaltenpositionen$ , um Einträge zu vergleichen, zu verknüpfen oder zu transformieren.

Zahlen aus einer Notentabelle als Matrix schreiben

Betrachten wir die Mathematik- und Englischnoten von drei Personen:

Name	Mathematik	Englisch
Aisyah	$80$	$75$
Alex	$70$	$95$
Wayan	$95$	$75$

Beschränken wir uns auf die Zahlen, erhalten wir die Matrix:

A = \begin{bmatrix} 80 & 75 \\ 70 & 95 \\ 95 & 75 \end{bmatrix}

Dieselbe Matrix lässt sich auch mit runden Klammern schreiben:

A = \begin{pmatrix} 80 & 75 \\ 70 & 95 \\ 95 & 75 \end{pmatrix}

Damit sind $80, 75, 70, 95, 95, 75$ die Elemente der Matrix $A$ .

Zeilen Spalten und Elemente

Drei Begriffe beschreiben den Aufbau einer Matrix:

Eine $Zeile$ ist eine waagerechte Folge von Elementen.
Eine $Spalte$ ist eine senkrechte Folge von Elementen.
Ein $Element$ ist ein Eintrag an einer bestimmten Zeilen- und Spaltenposition.

Für die Matrix $A$ gilt:

A = \begin{bmatrix} 80 & 75 \\ 70 & 95 \\ 95 & 75 \end{bmatrix}

$Zeile$ $1$ ist $[80 \ 75]$
$Zeile$ $2$ ist $[70 \ 95]$
$Zeile$ $3$ ist $[95 \ 75]$
$Spalte$ $1$ :

$\begin{bmatrix} 80 \\ 70 \\ 95 \end{bmatrix}$
$Spalte$ $2$ :

$\begin{bmatrix} 75 \\ 95 \\ 75 \end{bmatrix}$

Ein Element der Matrix $A$ wird als $a_{ij}$ geschrieben. Der $erste Index$ $i$ gibt die Zeile an, der zweite Index $j$ die Spalte.

A=[a_{ij}]_{m\times n}

Für die Matrix oben bedeutet das:

Eintrag	Zeile	Spalte	Wert
$a_{11}$	$1$	$1$	$80$
$a_{12}$	$1$	$2$	$75$
$a_{21}$	$2$	$1$	$70$
$a_{22}$	$2$	$2$	$95$
$a_{31}$	$3$	$1$	$95$
$a_{32}$	$3$	$2$	$75$

Format einer Matrix

Für die Matrix $A$ gilt:

A = \underbrace{\begin{bmatrix} 80 & 75 \\ 70 & 95 \\ 95 & 75 \end{bmatrix}}_{\text{2 Spalten}} \hspace{0.1em} \left. \vphantom{\begin{bmatrix} 80 \\ 70 \\ 95 \end{bmatrix}} \right\} \hspace{0.1em} \text{3 Zeilen}

Matrix $A$ hat $3$ Zeilen und $2$ Spalten. Ihr Format ist daher $3 \times 2$ und kann als $A_{3 \times 2}$ notiert werden.

$Ein weiteres Beispiel$ :

Eine Anwesenheitstabelle für ein Semester erfasse entschuldigte, krankheitsbedingte und unentschuldigte Fehltage:

Name	Entschuldigt	Krank	Unentschuldigt
Aisyah	$2$	$1$	$0$
Alex	$3$	$1$	$1$
Wayan	$1$	$2$	$1$

Die Zahlen bilden die Matrix $B$ :

B = \underbrace{\begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}}_{\text{3 Spalten}} \hspace{0.1em} \left. \vphantom{\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}} \right\} \hspace{0.1em} \text{3 Zeilen}

Matrix $B$ hat $3$ Zeilen und $3$ Spalten. Ihr Format ist also $3 \times 3$ , geschrieben $B_{3 \times 3}$ .

Zum Beispiel:

$b_{11} = 2$ ist das Element in Zeile $1$ , Spalte $1$ .
$b_{23} = 1$ ist das Element in Zeile $2$ , Spalte $3$ .
$b_{32} = 2$ ist das Element in Zeile $3$ , Spalte $2$ .

Allgemeine Matrixnotation

Eine Matrix $A$ mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten lässt sich so schreiben:

A_{m\times n}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}

Die Notation bedeutet:

$A_{m \times n}$ ist die Matrix $A$ mit dem Format $m \times n$ .
$m$ ist die Anzahl der Zeilen.
$n$ ist die Anzahl der Spalten.
$a_{ij}$ ist das Element in Zeile $i$ und Spalte $j$ .

Matrixtypen und Matrixoperationen verwenden die $Zeilen- und Spaltenpositionen$ , um Einträge zu vergleichen, zu verknüpfen oder zu transformieren.