Matrixaddition

Einträge an derselben Position addieren

Bei der Matrixaddition werden die Einträge mehrerer Matrizen positionsweise zusammengezählt. Das ist nur möglich, wenn alle beteiligten Matrizen gleich viele Zeilen und Spalten haben.

Das Ergebnis ist eine neue Matrix desselben Formats. Jeder ihrer Einträge ist die Summe der Einträge an derselben Position in den Ausgangsmatrizen.

Formale Definition der Matrixaddition

Zwei Matrizen $A$ und $B$ können genau dann addiert werden, wenn sie dasselbe Format haben.

Matrix $A$ habe das Format $m \times n$ und die Einträge $a_{ij}$. Dabei bezeichnet $i$ die Zeile und $j$ die Spalte. Matrix $B$ habe ebenfalls das Format $m \times n$ und die Einträge $b_{ij}$.

Ihre Summe nennen wir Matrix $C$ und schreiben $C = A + B$. Matrix $C$ hat ebenfalls das Format $m \times n$. Ihre Einträge $c_{ij}$ sind definiert durch:

Die Formel addiert also für jede Position den Eintrag aus $A$ und den entsprechenden Eintrag aus $B$.

Symbolisch folgt aus $A\in\mathbb{R}^{m\times n}$ und $B\in\mathbb{R}^{m\times n}$, dass $A+B\in\mathbb{R}^{m\times n}$ gilt. Zu jedem Ergebniseintrag $c_{ij}$ gehört daher in beiden Matrizen genau ein Eintrag an derselben Position.

Matrixaddition Schritt für Schritt

So werden zwei Matrizen addiert:

1. Format prüfen: Beide Matrizen müssen gleich viele Zeilen und Spalten haben. Andernfalls ist ihre Summe nicht definiert.
2. Entsprechende Einträge addieren: Addiere jeweils die Einträge an derselben Zeilen- und Spaltenposition.
3. Ergebnismatrix bilden: Trage die Summen an ihren Positionen in eine neue Matrix desselben Formats ein.

Beispiel einer Matrixaddition

Angenommen, wir haben zwei Matrizen, $P$ und $Q$, wie folgt:

Beide Matrizen haben das Format $3 \times 2$, also $3$ Zeilen und $2$ Spalten. Daher können sie addiert werden.

Dann ist $P+Q$:

Die Matrix oben ist die Summe $P+Q$.

Nicht addierbare Matrizen

Diese beiden Matrizen haben unterschiedliche Formate:

Matrix $X$ hat das Format $2 \times 2$, Matrix $Y$ dagegen das Format $2 \times 3$. Wegen der unterschiedlichen Spaltenzahlen ist $X+Y$ nicht definiert.

Eigenschaften der Matrixaddition

Die Matrixaddition besitzt dieselben grundlegenden Rechengesetze wie die Addition reeller Zahlen. Seien $A$, $B$ und $C$ Matrizen desselben Formats. $O$ bezeichne die gleich große Nullmatrix, deren Einträge alle null sind.

Jede Regel lässt sich an entsprechenden Einträgen prüfen, weil die Matrixaddition an jeder Position getrennt arbeitet.

Kommutative Eigenschaft

Die Reihenfolge der Matrixaddition hat keinen Einfluss auf das Ergebnis.

Ob $A$ zu $B$ oder $B$ zu $A$ addiert wird, ändert das Ergebnis nicht.

Assoziative Eigenschaft

Die Gruppierung bei der Addition von drei oder mehr Matrizen hat keinen Einfluss auf das Ergebnis.

Man kann zuerst $A$ und $B$ addieren und danach $C$, oder zuerst $B$ und $C$ und danach $A$. Beide Gruppierungen liefern dieselbe Matrix.

Neutrales Element

Für die Matrixaddition ist die Nullmatrix $O$ das neutrale Element.

Addiert man zu einer Matrix die gleich große Nullmatrix, bleibt die Matrix unverändert.

Diese Nullmatrix spielt bei der Addition von Zahlen eine ähnliche Rolle wie die Zahl $0$.

Additives Inverses

Jede Matrix $A$ besitzt ein additives Inverses $-A$. Wird es zu $A$ addiert, ergibt sich die Nullmatrix $O$.

In $-A$ hat jeder Eintrag das entgegengesetzte Vorzeichen des entsprechenden Eintrags in $A$.

Wenn beispielsweise $a_{ij}$ ein Element von $A$ ist, dann ist $-a_{ij}$ ein Element von $-A$.

Übungen

Problem 1

Gegeben sind die folgenden Matrizen:

Berechne $A+B$ und $B+A$. Entscheide anschließend, ob $A+C$ definiert ist, und begründe die Entscheidung.

Problem 2

Bestimme aus der folgenden Matrixgleichung die Werte von $x, y,$ und $z$:

Problem 3

Bestimme für die folgende Matrix das additive Inverse $-P$ von $P$ und weise $P + (-P) = O$ nach. Dabei ist $O$ die gleich große Nullmatrix.

Ausführliche Lösungen

Problem 1

Gegeben sind:

Zuerst berechnen wir $A$ plus $B$ ($A+B$):

Eine negative Zahl zu addieren heißt, ihre Gegenzahl zu subtrahieren. Die Summen der entsprechenden Einträge lauten daher:

Danach vertauschen wir die Summanden und berechnen $B$ plus $A$ ($B+A$):

Das bestätigt ein Beispiel des Kommutativgesetzes: $A+B = B+A$. Allgemein gilt für jeden Eintrag $a_{ij}+b_{ij}=b_{ij}+a_{ij}$, weil die Addition reeller Zahlen kommutativ ist.

Für $A$ plus $C$ ($A+C$) prüfen wir zuerst die Formate:

Die Summe ist nicht definiert. Matrix $A$ hat das Format $2 \times 3$, Matrix $C$ dagegen das Format $2 \times 2$. Wegen der unterschiedlichen Spaltenzahlen kann $A+C$ nicht gebildet werden.

Problem 2

Gegeben sei die Matrixaddition:

Wir addieren zunächst die Matrizen auf der linken Seite:

Aus der Gleichheit zweier Matrizen folgt, dass die entsprechenden Einträge übereinstimmen müssen:

Für das Element in Zeile $1$, Spalte $1$: $2x+4 = 10$

Für das Element in Zeile $1$, Spalte $2$: $3 = 3$ (bereits konsistent).

Für das Element in Zeile $2$, Spalte $1$: $-1+z = 6$

Für das Element in Zeile $2$, Spalte $2$: $3y+7 = 1$

Somit sind die Werte $x=3$, $y=-2$ und $z=7$.

Problem 3

Die gegebene Matrix lautet:

Das additive Inverse von $P$, also $-P$, ist:

Zur Kontrolle addieren wir $P + (-P) = O$:

Das Ergebnis ist die Nullmatrix $O$ im Format $2 \times 2$. Damit ist die Behauptung gezeigt.