Was ist die Kofaktorentwicklung?
Mit der Kofaktorentwicklung lässt sich die Determinante jeder quadratischen Matrix berechnen. Besonders nützlich ist sie bei Matrizen, die größer als sind.
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Mit der Kofaktorentwicklung lässt sich die Determinante jeder quadratischen Matrix berechnen. Besonders nützlich ist sie bei Matrizen, die größer als sind.
Die Idee dahinter: Wir zerlegen die große Determinante in kleinere Determinanten. Dazu multiplizieren wir ausgewählte Matrixelemente mit ihren Kofaktoren und addieren die Ergebnisse.
Zu jedem Element einer quadratischen Matrix gehört eine Unterdeterminante, der sogenannte Minor. Für das Element in der -ten Zeile und -ten Spalte schreiben wir den Minor als .
Um zu bestimmen, streichen wir in der ursprünglichen Matrix die gesamte -te Zeile und die gesamte -te Spalte. Die Determinante der übrig gebliebenen Untermatrix ist der Minor .
Betrachten wir die folgende -Matrix :
Für den Minor des Elements , also , streichen wir die zweite Zeile und die zweite Spalte der Matrix :
Das sieht so aus:
Übrig bleibt die folgende Untermatrix:
Der Minor ist die Determinante dieser Untermatrix:
Aus dem Minor entsteht der Kofaktor. Den Kofaktor eines Elements bezeichnen wir mit oder . Er wird aus dem zugehörigen Minor berechnet:
Der Faktor bestimmt das Vorzeichen des Kofaktors:
Für eine -Matrix sieht das Vorzeichenmuster von wie folgt aus:
Das Vorzeichen zeigt, ob der Kofaktor dem Minor entspricht (Vorzeichen ) oder sein Negatives ist (Vorzeichen ).
Wir setzen das Beispiel mit der Matrix und dem bereits bestimmten Minor fort.
Der Kofaktor des Elements ist .
Aus und folgt (gerade).
Bestimmen wir nun den Kofaktor des Elements .
Zuerst bestimmen wir den Minor . Dazu streichen wir in der Matrix die erste Zeile und die zweite Spalte:
Anschließend berücksichtigen wir das Vorzeichen. Für gelten und , also ist ungerade.
Für die Kofaktorentwicklung wählen wir eine Zeile oder Spalte der Matrix . Ihre Determinante schreiben wir als oder .
Jedes Element der gewählten Zeile oder Spalte wird mit seinem Kofaktor multipliziert. Danach addieren wir alle Produkte.
Kofaktorentwicklung entlang der -ten Zeile:
Wir wählen die -te Zeile. Für jede Spalte multiplizieren wir das Element mit seinem Kofaktor und addieren die Produkte.
Kofaktorentwicklung entlang der -ten Spalte:
Wir wählen die -te Spalte. Für jede Zeile multiplizieren wir das Element mit seinem Kofaktor und addieren die Produkte.
Welche Zeile oder Spalte wir wählen, ändert das Ergebnis nicht.
Am einfachsten wird die Rechnung mit einer Zeile oder Spalte, die viele Nullen enthält. Die zugehörigen Produkte verschwinden sofort, sodass weniger Terme berechnet werden müssen.
Berechnen wir die Determinante der folgenden Matrix mit der Kofaktorentwicklung:
Wir entwickeln entlang der ersten Zeile, also für .
Damit lautet die Formel für die Determinante von :
Die Elemente der ersten Zeile von sind:
Nun bestimmen wir die Kofaktoren , und .
Berechnung von (, also ist gerade):
Berechnung von (, also ist ungerade):
Berechnung von (, also ist gerade):
Zum Schluss setzen wir die drei Kofaktoren in die Determinantenformel ein:
Die Determinante der Matrix ist also .