Kofaktorentwicklung

Eine große Determinante in kleinere zerlegen

Die Kofaktorentwicklung zerlegt die Determinante einer quadratischen Matrix in $kleinere Determinanten$ . Besonders nützlich ist sie bei Matrizen, die größer als $2 \times 2$ sind.

Die Idee dahinter: Wir zerlegen die große Determinante in kleinere Determinanten. Dazu multiplizieren wir ausgewählte Matrixelemente mit ihren Kofaktoren und addieren die Ergebnisse.

Minor eines Matrixelements

Zu jedem Element einer quadratischen Matrix gehört eine $Unterdeterminante$ , der sogenannte Minor. Für das Element $a_{ij}$ in der $i$ -ten Zeile und $j$ -ten Spalte schreiben wir den Minor als $M_{ij}$ .

Um $M_{ij}$ zu bestimmen, streichen wir in der ursprünglichen Matrix die gesamte $i$ -te Zeile und die gesamte $j$ -te Spalte. Die Determinante der übrig gebliebenen Untermatrix ist der Minor $M_{ij}$ .

Einen Minor bestimmen

Betrachten wir die folgende $3 \times 3$ -Matrix $A$ :

A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}

Für den Minor des Elements $a_{22}$ , also $M_{22}$ , streichen wir die $zweite Zeile und die zweite Spalte$ der Matrix $A$ :

Das sieht so aus:

A = \begin{bmatrix} a_{11} & \cancel{a_{12}} & a_{13} \\ \cancel{a_{21}} & \cancel{a_{22}} & \cancel{a_{23}} \\ a_{31} & \cancel{a_{32}} & a_{33} \end{bmatrix}

Übrig bleibt die folgende Untermatrix:

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{bmatrix}

Der Minor $M_{22}$ ist die Determinante dieser Untermatrix:

\begin{aligned} M_{22} &= \det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix} \\ &= (a_{11} \times a_{33}) - (a_{13} \times a_{31}) \end{aligned}

Kofaktor eines Matrixelements

Aus dem Minor entsteht der Kofaktor. Den Kofaktor eines Elements $a_{ij}$ bezeichnen wir mit $k_{ij}$ oder $C_{ij}$ . Er wird aus dem zugehörigen Minor berechnet:

k_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}

Der Faktor $(-1)^{i+j}$ bestimmt das $Vorzeichen vor dem Minor$ :

Ist $i+j$ gerade, gilt $(-1)^{i+j} = 1$ . Dann ist $k_{ij} = M_{ij}$ .
Ist $i+j$ ungerade, gilt $(-1)^{i+j} = -1$ . Dann ist $k_{ij} = -M_{ij}$ .

Für eine $3 \times 3$ -Matrix lautet das Vorzeichenmuster von $(-1)^{i+j}$ :

\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}

Das Vorzeichen zeigt, ob der Kofaktor dem Minor entspricht (Vorzeichen $+$ ) oder sein Negatives ist (Vorzeichen $-$ ).

Einen Kofaktor bestimmen

Wir setzen das Beispiel mit der Matrix $A$ und dem bereits bestimmten $Minor$ $M_{22}$ fort.

Der Kofaktor des Elements $a_{22}$ ist $k_{22}$ .

Aus $i=2$ und $j=2$ folgt $i+j = 2+2 = 4$ (gerade).

k_{22} = (-1)^{2+2} M_{22} = (1) M_{22} = M_{22}

Bestimmen wir nun den Kofaktor $k_{12}$ des Elements $a_{12}$ .

Zuerst bestimmen wir den Minor $M_{12}$ . Dazu streichen wir in der Matrix $A$ die erste Zeile und die zweite Spalte:

\begin{aligned} M_{12} &= \det \begin{pmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix} \\ &= (a_{21} \times a_{33}) - (a_{23} \times a_{31}) \end{aligned}

Anschließend berücksichtigen wir das Vorzeichen. Für $a_{12}$ gelten $i=1$ und $j=2$ , also ist $i+j = 1+2 = 3$ ungerade.

\begin{aligned} k_{12} &= (-1)^{1+2} M_{12} \\ &= (-1) M_{12} \\ &= -M_{12} \end{aligned}

Die Determinante durch Kofaktorentwicklung berechnen

Für die Kofaktorentwicklung wählen wir eine Zeile oder Spalte der Matrix $A$ . Ihre Determinante schreiben wir als $\det(A)$ oder $|A|$ .

Jedes Element der gewählten Zeile oder Spalte wird mit seinem Kofaktor multipliziert. Danach addieren wir alle Produkte.

$i$ :

\begin{aligned} &\det(A) \\ &= |A| \\ &= \sum_{j=1}^{n} a_{ij}k_{ij} \\ &= a_{i1}k_{i1} + a_{i2}k_{i2} + \dots + a_{in}k_{in} \end{aligned}

Wir wählen die $i$ -te Zeile. Für jede Spalte $j$ multiplizieren wir das Element $a_{ij}$ mit seinem Kofaktor $k_{ij}$ und addieren die Produkte.

$j$ :

\begin{aligned} &\det(A) \\ &= |A| \\ &= \sum_{i=1}^{n} a_{ij}k_{ij} \\ &= a_{1j}k_{1j} + a_{2j}k_{2j} + \dots + a_{nj}k_{nj} \end{aligned}

Wir wählen die $j$ -te Spalte. Für jede Zeile $i$ multiplizieren wir das Element $a_{ij}$ mit seinem Kofaktor $k_{ij}$ und addieren die Produkte.

Welche Zeile oder Spalte wir wählen, ändert das Ergebnis nicht.

Wähle nach Möglichkeit $eine Zeile oder Spalte mit vielen Nullen$ . Jedes Nullelement lässt sein Produkt entfallen, sodass weniger Terme berechnet werden müssen.

Beispiel für die Determinantenberechnung

Berechnen wir die Determinante der folgenden Matrix $P$ mit der Kofaktorentwicklung:

P = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 6 & 2 \\ 5 & 9 & 4 \end{bmatrix}

Wir entwickeln entlang der ersten Zeile, also für $i=1$ .

Damit lautet die Formel für die Determinante von $P$ :

\det(P) = a_{11}k_{11} + a_{12}k_{12} + a_{13}k_{13}

Die Elemente der ersten Zeile von $P$ sind:

$a_{11} = 1$
$a_{12} = 3$
$a_{13} = 2$

Nun bestimmen wir die Kofaktoren $k_{11}$ , $k_{12}$ und $k_{13}$ .

$k_{11}$ ( $i=1, j=1$ , also ist $i+j=2$ gerade):

\begin{aligned} M_{11} &= \det \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 9 & 4 \end{pmatrix} \\ &= (6 \times 4) - (2 \times 9) \\ &= 24 - 18 \\ &= 6 \end{aligned}

$k_{12}$ ( $i=1, j=2$ , also ist $i+j=3$ ungerade):

\begin{aligned} M_{12} &= \det \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} \\ &= (2 \times 4) - (2 \times 5) \\ &= 8 - 10 \\ &= -2 \end{aligned}

$k_{13}$ ( $i=1, j=3$ , also ist $i+j=4$ gerade):

\begin{aligned} M_{13} &= \det \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 5 & 9 \end{pmatrix} \\ &= (2 \times 9) - (6 \times 5) \\ &= 18 - 30 \\ &= -12 \end{aligned}

Zum Schluss setzen wir die drei Kofaktoren in die Determinantenformel ein:

\det(P) = a_{11}k_{11} + a_{12}k_{12} + a_{13}k_{13}

Die Determinante der Matrix $P$ ist also $-12$ .

Beachte $k_{12}=(-1)(-2)=2$ . Eine Position mit Minuszeichen kann einen $positiven Kofaktor$ ergeben, wenn der Minor negativ ist. Beim Einsetzen in die Summe darfst du das Minuszeichen nicht noch einmal anwenden.