Matrixtypen

Zeilenmatrix

Eine Zeilenmatrix ist eine Matrix, die nur aus einer Zeile besteht.

Eine Zeilenmatrix hat das Format $1 \times n$ , wobei die Anzahl der Spalten ist.

Matrixtypen

Zeilenmatrix

Eine Zeilenmatrix ist eine Matrix, die nur aus einer Zeile besteht.

Eine Zeilenmatrix hat das Format $1 \times n$ , wobei die Anzahl der Spalten ist.

n

Ihre allgemeine Form ist:

A_{1 \times n} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \end{bmatrix}

Beispiel:

P = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 & 7 \end{bmatrix}

Die Matrix $P$ ist eine Zeilenmatrix im Format $1 \times 4$ .

Spaltenmatrix

Eine Spaltenmatrix ist eine Matrix, die nur aus einer Spalte besteht.

Eine Spaltenmatrix hat das Format $m \times 1$ , wobei $m$ die Anzahl der Zeilen ist.

Ihre allgemeine Form ist:

B_{m \times 1} = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{bmatrix}

Beispiel:

Q = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ -4 \end{bmatrix}

Die Matrix $Q$ ist eine Spaltenmatrix im Format $3 \times 1$ .

Quadratische Matrix

Eine quadratische Matrix ist eine Matrix, die die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten hat.

Wenn $\text{Anzahl der Zeilen} = \text{Anzahl der Spalten} = n$ gilt, hat die Matrix das Format $n \times n$ .

Ihre allgemeine Form ist:

A_{n \times n} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix}

In einer quadratischen Matrix gibt es:

Hauptdiagonale:

Die Elemente $a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn}$ (d. h. $a_{ij}$ mit $i=j$ ).
Gegendiagonale:

Die Elemente $a_{1n}, a_{2,n-1}, \dots, a_{n1}$ (d. h. mit ).

Beispiel:

M = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}

Die Matrix $M$ ist eine quadratische Matrix im Format $3 \times 3$ . Ihre Hauptdiagonale enthält $1, 5, 9$ , ihre Gegendiagonale enthält $3, 5, 7$ .

Rechteckige Matrix

Eine rechteckige Matrix ist eine Matrix, bei der die Anzahl der Zeilen und Spalten nicht gleich ist ( $m \neq n$ ).

Allgemeines Beispiel:

C = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}

Die Matrix $C$ hat $2$ Zeilen und $3$ Spalten, also das Format $2 \times 3$ . Da Zeilen- und Spaltenzahl verschieden sind ( $2 \neq 3$ ), ist $C$ eine rechteckige Matrix.

Einige Schulbücher unterscheiden Rechteckmatrizen zusätzlich nach ihrer Form: Breite Matrizen haben mehr Spalten als Zeilen, hohe Matrizen mehr Zeilen als Spalten. In manchen Lehrplänen heißen sie auch horizontale beziehungsweise vertikale Matrizen.

Breite Matrix

Eine breite Matrix ist eine rechteckige Matrix mit mehr Spalten als Zeilen ( $n > m$ ).

Beispiel:

D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 4 \\ -2 & 3 & 5 \end{bmatrix}

Die Matrix $D$ ist eine breite Matrix im Format $2 \times 3$ .

Hohe Matrix

Eine hohe Matrix ist eine rechteckige Matrix mit mehr Zeilen als Spalten ( $m > n$ ).

Beispiel:

T = \begin{bmatrix} 7 & 1 \\ 0 & -3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}

Die Matrix $T$ ist eine hohe Matrix im Format $3 \times 2$ .

Dreiecksmatrix

Eine Dreiecksmatrix ist eine quadratische Matrix, bei der die Elemente unterhalb oder oberhalb der Hauptdiagonale Null sind.

Obere Dreiecksmatrix

Eine obere Dreiecksmatrix ist eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonale Null sind.

Das bedeutet $a_{ij} = 0$ für jedes $i > j$ .

Beispiel:

U = \begin{bmatrix} 5 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Untere Dreiecksmatrix

Eine untere Dreiecksmatrix ist eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente über der Hauptdiagonale Null sind.

Das bedeutet $a_{ij} = 0$ für jedes $i < j$ .

Beispiel:

L = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 4 & 6 & 0 \\ -3 & 1 & 9 \end{bmatrix}

Diagonale Matrix

Eine Diagonalmatrix ist eine quadratische Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale Null sind.

Das bedeutet $a_{ij} = 0$ für jedes $i \neq j$ . Elemente auf der Hauptdiagonale können Null oder ungleich Null sein.

Beispiel:

X = \begin{bmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Die Matrix $X$ ist eine Diagonalmatrix im Format $3 \times 3$ .

Einheitsmatrix

Eine Einheitsmatrix (bezeichnet mit $I$ oder $I_n$ ) ist eine Diagonalmatrix, deren Hauptdiagonale nur aus $1$ besteht.

Beispiel:

I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Die Einheitsmatrix ist das neutrale Element der Matrixmultiplikation. Hat $A$ das Format $m \times n$ , muss die Einheitsmatrix zu der Seite passen, auf der sie multipliziert wird:

I_mA=A=AI_n

Nullmatrix

Eine Nullmatrix (bezeichnet mit $O$ oder $O_{m \times n}$ ) ist eine Matrix, in der alle Elemente Null sind.

Beispiel:

O_{2 \times 2} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

Symmetrische Matrix

Eine symmetrische Matrix ist eine quadratische Matrix, die mit ihrer Transponierten übereinstimmt ( $A^T = A$ ).

Das bedeutet, dass $a_{ij} = a_{ji}$ für alle $i$ und $j$ gilt. Ihre Einträge liegen spiegelbildlich zur Hauptdiagonalen.

Beispiel:

S = \begin{bmatrix} 1 & 7 & -3 \\ 7 & 2 & 0 \\ -3 & 0 & 5 \end{bmatrix}

In der Matrix $S$ gilt:

$s_{12} = s_{21} = 7$
$s_{13} = s_{31} = -3$
$s_{23} = s_{32} = 0$

a_{ij}

i+j=n+1