Matrixtypen

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n

Ihre allgemeine Form ist:

A_{1 \times n} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \end{bmatrix}

Beispiel:

P = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 & 7 \end{bmatrix}

Die Matrix $P$ ist eine Zeilenmatrix im Format $1 \times 4$ .

Spaltenmatrix

Eine Spaltenmatrix ist eine Matrix, die $nur aus einer Spalte besteht$ .

Eine Spaltenmatrix hat das Format $m \times 1$ , wobei $m$ die Anzahl der Zeilen ist.

Ihre allgemeine Form ist:

B_{m \times 1} = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{bmatrix}

Beispiel:

Q = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ -4 \end{bmatrix}

Die Matrix $Q$ ist eine Spaltenmatrix im Format $3 \times 1$ .

Quadratische Matrix

Eine quadratische Matrix ist eine Matrix, die $die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten hat$ .

Wenn $\text{Anzahl der Zeilen} = \text{Anzahl der Spalten} = n$ gilt, hat die Matrix das Format $n \times n$ .

Ihre allgemeine Form ist:

A_{n \times n} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix}

In einer quadratischen Matrix gibt es:

$Hauptdiagonale$ :

Die Elemente $a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn}$ (d. h. $a_{ij}$ mit $i=j$ ).
$Gegendiagonale$ :

Die Elemente $a_{1n}, a_{2,n-1}, \dots, a_{n1}$ (d. h. mit ).

Beispiel:

M = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}

Die Matrix $M$ ist eine quadratische Matrix im Format $3 \times 3$ . Ihre Hauptdiagonale enthält $1, 5, 9$ , ihre Gegendiagonale enthält $3, 5, 7$ .

Rechteckige Matrix

Eine rechteckige Matrix ist eine Matrix, bei der $die Anzahl der Zeilen und Spalten nicht gleich ist$ ( $m \neq n$ ).

Allgemeines Beispiel:

C = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}

Die Matrix $C$ hat $2$ Zeilen und $3$ Spalten, also das Format $2 \times 3$ . Da Zeilen- und Spaltenzahl verschieden sind ( $2 \neq 3$ ), ist $C$ eine rechteckige Matrix.

Rechteckmatrizen mit mehr Spalten als Zeilen werden oft als breit bezeichnet, solche mit mehr Zeilen als Spalten als hoch.

Breite Matrix

Eine breite Matrix ist eine rechteckige Matrix mit $mehr Spalten als Zeilen$ ( $n > m$ ).

Beispiel:

D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 4 \\ -2 & 3 & 5 \end{bmatrix}

Die Matrix $D$ ist eine breite Matrix im Format $2 \times 3$ .

Hohe Matrix

Eine hohe Matrix ist eine rechteckige Matrix mit $mehr Zeilen als Spalten$ ( $m > n$ ).

Beispiel:

T = \begin{bmatrix} 7 & 1 \\ 0 & -3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}

Die Matrix $T$ ist eine hohe Matrix im Format $3 \times 2$ .

Eine Dreiecksmatrix ist eine quadratische Matrix, bei der die Elemente $auf einer Seite der Hauptdiagonale$ Null sind. Die Diagonaleinträge selbst dürfen beliebig sein. Obere und untere Dreiecksmatrix unterscheiden sich darin, welche Seite Null ist.

Obere Dreiecksmatrix

Eine obere Dreiecksmatrix ist eine quadratische Matrix, bei der $alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonale Null sind$ .

In Symbolen gilt $a_{ij} = 0$ , wenn $i > j$ .

Beispiel:

U = \begin{bmatrix} 5 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Untere Dreiecksmatrix

Eine untere Dreiecksmatrix ist eine quadratische Matrix, bei der $alle Elemente über der Hauptdiagonale Null sind$ .

In Symbolen gilt $a_{ij} = 0$ , wenn $i < j$ .

Beispiel:

L = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 4 & 6 & 0 \\ -3 & 1 & 9 \end{bmatrix}

Diagonale Matrix

Eine Diagonalmatrix ist eine quadratische Matrix, bei der $alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale Null sind$ .

In Symbolen gilt $a_{ij} = 0$ , wenn $i \neq j$ . Elemente auf der Hauptdiagonale können Null oder ungleich Null sein.

Beispiel:

X = \begin{bmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

Die Matrix $X$ ist eine Diagonalmatrix im Format $3 \times 3$ .

Einheitsmatrix

Eine Einheitsmatrix (bezeichnet mit $I$ oder $I_n$ ) ist eine Diagonalmatrix, deren $Hauptdiagonale$ nur aus $1$ besteht.

Beispiel:

I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

Die Einheitsmatrix ist das neutrale Element der Matrixmultiplikation. Hat $A$ das Format $m \times n$ , muss die Einheitsmatrix zu der Seite passen, auf der sie multipliziert wird:

I_mA=A=AI_n

Nullmatrix

Eine Nullmatrix (bezeichnet mit $O$ oder $O_{m \times n}$ ) ist eine Matrix, in der $alle Elemente Null sind$ .

Beispiel:

O_{2 \times 2} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

Symmetrische Matrix

Eine symmetrische Matrix ist eine quadratische Matrix, die $mit ihrer Transponierten übereinstimmt$ ( $A^T = A$ ).

Für jedes Indexpaar $i$ und $j$ gilt bei einer symmetrischen Matrix $a_{ij} = a_{ji}$ . Einträge auf gegenüberliegenden Seiten der Hauptdiagonalen sind gleich.

Beispiel:

S = \begin{bmatrix} 1 & 7 & -3 \\ 7 & 2 & 0 \\ -3 & 0 & 5 \end{bmatrix}

In der Matrix $S$ gilt:

$s_{12} = s_{21} = 7$
$s_{13} = s_{31} = -3$
$s_{23} = s_{32} = 0$

Eine Matrix kann mehrere Typen haben

Diese Bezeichnungen $schließen einander nicht aus$ . Eine Einheitsmatrix ist diagonal und symmetrisch zugleich. Eine nichtquadratische Nullmatrix ist nach den obigen Definitionen dagegen weder diagonal noch symmetrisch. Prüfe zuerst das Format, dann das Muster der Einträge.

Beispiel	Passende Typen	Grund
$I_3$	Einheitsmatrix, diagonal, obere und untere Dreiecksmatrix, symmetrisch	Außerhalb der Hauptdiagonalen stehen Nullen und auf ihr nur Einsen.
$O_{2\times3}$	Nullmatrix, rechteckig, breit	Alle Einträge sind null, aber Zeilen- und Spaltenzahl unterscheiden sich.

a_{ij}

i+j=n+1