Eigenschaften der Matrixdeterminante

Determinante des Produkts zweier Matrizen

Zuerst vergleichen wir die Determinante des Matrixprodukts $|AB|$ mit dem Produkt der beiden Determinanten $|A||B|$.

Schritt $1$: Determinante der Matrix $A$ ($|A|$)

Die Determinante der Matrix $A$ ist:

Schritt $2$: Determinante der Matrix $B$ ($|B|$)

Die Determinante der Matrix $B$ ist:

Schritt $3$: Matrixprodukt $A$ mal $B$ ($AB$)

Für die Matrix $AB$ multiplizieren wir die Matrix $A$ mit $B$:

Schritt $4$: Determinante der Matrix $AB$ ($|AB|$)

Berechnen wir nun die Determinante der Produktmatrix $AB$:

Schritt $5$: Vergleich von $|AB|$ und $|A||B|$

Wir haben $|A| = 13$, $|B| = -5$ und $|AB| = -65$ erhalten.

Berechnen wir $|A||B|$:

Beide Rechnungen liefern denselben Wert: $|AB|$ ist gleich $|A||B|$.

Formel für die Eigenschaft der Determinante des Matrixprodukts

Für zwei quadratische Matrizen $A$ und $B$ desselben Formats gilt: Die Determinante des Produkts von $A$ und $B$ ist gleich dem Produkt der einzelnen Determinanten.

Determinante einer Matrix mit Skalarmultiplikation

Als Nächstes untersuchen wir, wie sich die Determinante verändert, wenn jedes Matrixelement mit derselben Zahl multipliziert wird.

Dazu verwenden wir erneut die Matrix $A$ und den Skalar $k=2$.

Wir wissen bereits, dass $|A| = 13$. Die Matrix $A$ hat das Format $2 \times 2$, also ist $n=2$.

Schritt $1$: Matrix $kA$ bestimmen

Wir multiplizieren jedes Element der Matrix $A$ mit $k=2$:

Schritt $2$: Determinante der Matrix $kA$ ($|kA|$)

Die Determinante der Matrix $kA$ ist:

Schritt $3$: Vergleich von $|kA|$ und $k^n|A|$

Wir haben $|kA| = 52$. Für die Vergleichsrechnung verwenden wir $k=2$, $n=2$ und $|A|=13$.

Berechnen wir $k^n|A|$:

Auch hier stimmen beide Werte überein: $|kA|$ ist gleich $k^n|A|$.

Formel für die Eigenschaft der Determinante der Skalarmultiplikation

Ist $A$ eine quadratische Matrix im Format $n \times n$ und $k$ ein Skalar, dann ist die Determinante von $kA$ gleich $k^n$ mal der Determinante von $A$.

Dabei ist $n$ die Anzahl der Zeilen beziehungsweise Spalten der quadratischen Matrix $A$.

Weitere Determinanteneigenschaften

Die Produktregel und die Skalierung der gesamten Matrix gehören zu einer größeren Gruppe nützlicher Regeln. In der Tabelle ist $A$ quadratisch, und jede Zeilenoperation erzeugt eine neue Matrix $B$.

Die Skalierung einer Zeile darf nicht mit der Skalierung der gesamten Matrix verwechselt werden. Bei einer $n\times n$-Matrix skaliert $kA$ alle $n$ Zeilen mit $k$. Deshalb tritt der Faktor $k$ genau $n$-mal auf und ergibt $k^n$.

Verständnis prüfen

Ausgangspunkt ist:

Mit den Determinantenregeln lassen sich die Ergebnisse vor jeder vollständigen Entwicklung vorhersagen:

Matrix $B$ vertauscht die Zeilen, Matrix $C$ multipliziert die erste Zeile mit $5$, und Matrix $D$ führt $R_2\leftarrow R_2+3R_1$ aus. Eine direkte Rechnung bestätigt alle drei Vorhersagen.