Transponierte einer Matrix

Zeilen und Spalten einer Matrix vertauschen

Die Transponierte entsteht, wenn man $die Zeilen und Spalten einer Matrix vertauscht$ . Jede Zeile der ursprünglichen Matrix wird zu einer Spalte der neuen Matrix und jede Spalte zu einer Zeile.

Wenn wir eine Matrix $A$ haben, dann wird die Transponierte der Matrix $A$ normalerweise mit $A^T$ oder $A'$ bezeichnet.

Hat die Matrix $A$ das Format $m \times n$ und steht $a_{ij}$ in der $i$ -ten Zeile und $j$ -ten Spalte, dann hat $A^T$ das Format $n \times m$ und es gilt $(A^T)_{ji} = a_{ij}$ .

Dies bedeutet, dass das Element in der $j$ -ten Zeile und $i$ -ten Spalte von $A^T$ das gleiche ist wie das Element in der $i$ -ten Zeile und $j$ -ten Spalte von $A$ .

So wird eine Matrix transponiert

So entsteht die transponierte Matrix:

Schreibe die $erste Zeile$ der ursprünglichen Matrix als erste Spalte der Transponierten.
Schreibe die zweite Zeile als zweite Spalte.
Wiederhole den Vorgang für alle übrigen Zeilen.

Allgemeine Matrix

Angenommen, wir haben die Matrix $A$ :

A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}

Dann ist die Transponierte der Matrix $A$ :

A^T = \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix}

Die erste Zeile $\begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix}$ wird zur $ersten Spalte$ :

\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}

Die zweite Zeile $\begin{bmatrix} c & d \end{bmatrix}$ wird zur zweiten Spalte:

\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}

Matrix mit anderem Format

Gegeben ist die Matrix $B$ im $Format$ $2 \times 3$ :

B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}

Die Transponierte der Matrix $B$ , also $B^T$ , hat das Format $3 \times 2$ :

B^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}

Die erste Zeile von $B$ ( $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$ ) wird zur ersten Spalte von $B^T$ .
Die zweite Zeile von $B$ ( $\begin{bmatrix} 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$ ) wird zur zweiten Spalte von $B^T$ .

Spaltenmatrix zur Zeilenmatrix

Wenn $C$ eine Spaltenmatrix ist:

C = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}

Dann ist ihre Transponierte, $C^T$ , eine $Zeilenmatrix$ :

C^T = \begin{bmatrix} 2 & 3 \end{bmatrix}

Transponierte einer Quadratmatrix

Gegeben sei eine $quadratische Matrix$ $D$ :

D = \begin{bmatrix} -7 & 8 & 1 & 3 \\ 5 & 9 & 7 & 2 \\ 2 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & -6 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Dann ist ihre Transponierte, $D^T$ , ebenfalls eine quadratische Matrix:

D^T = \begin{bmatrix} -7 & 5 & 2 & 1 \\ 8 & 9 & 2 & -6 \\ 1 & 7 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}

Eigenschaften der Matrixtransponierung

Für jede Identität müssen die Formate zu den angegebenen Operationen passen. Bei einem Produkt $kehrt sich die Reihenfolge der Faktoren um$ .

Identität	Bedeutung
$(A^T)^T = A$	Wird eine Matrix zweimal transponiert, erhält man die ursprüngliche Matrix.
$(A + B)^T = A^T + B^T$	Transponierte der Summe zweier Matrizen
$(A - B)^T = A^T - B^T$	Transponierte der Differenz zweier Matrizen
$(kA)^T = kA^T$	, wobei $k$ ein Skalar ist
$(AB)^T = B^T A^T$	Beim Transponieren eines Produkts kehrt sich die Reihenfolge der Faktoren um.

Warum sich die Reihenfolge umkehrt

Nimm die Zeilenmatrix $E=[1\;2]$ und die Spaltenmatrix $F=[3\;4]^T$ . Das Produkt $EF$ hat $nur einen Eintrag$ . Seine Transponierte muss ebenfalls einen Eintrag haben.

EF=[1(3)+2(4)]=[11]

Ohne die Umkehrung entsteht eine $2\times2$ -Matrix statt der $1\times1$ -Transponierten des Produkts.

Übungen

Bestimme die Transponierte der folgenden Matrizen und gib den $Typ der Ergebnismatrix$ an, zum Beispiel Zeilenmatrix, Spaltenmatrix oder Quadratmatrix.

Matrix $A$ :

$A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & -5 \end{bmatrix}$
Matrix $B$ :

$B = \begin{bmatrix} 9 & -1 \\ 3 & 0 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}$
Matrix $C$ :

$C = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 6 & -2 \\ 4 & 5 & -7 \end{bmatrix}$

Ausführliche Lösungen

Die Transponierte von $A$ lautet:

$A^T = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -5 \end{bmatrix}$

Die einzige Zeile von $A$ wird zu $einer Spalte$ . Somit hat $A^T$ das Format $3 \times 1$ und ist eine Spaltenmatrix.
Die Transponierte von $B$ lautet:

$B^T = \begin{bmatrix} 9 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 5 \end{bmatrix}$

Jede Zeile von $B$ wird zu einer Spalte von $B^T$ . Das Format ändert sich von $3 \times 2$ zu $2 \times 3$ . Das Ergebnis ist daher eine rechteckige Matrix.
Die Transponierte von $C$ lautet:

$C^T = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 3 & 6 & 5 \\ 1 & -2 & -7 \end{bmatrix}$

Liest man die Spalten von $C$ als Zeilen von $C^T$ , entsteht die oben angegebene Matrix. Ihr Format bleibt $3 \times 3$ , daher ist sie weiterhin quadratisch.