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Die Transponierte entsteht, wenn man die Zeilen und Spalten einer Matrix vertauscht. Jede Zeile der ursprünglichen Matrix wird zu einer Spalte der neuen Matrix und jede Spalte zu einer Zeile.
Wenn wir eine Matrix A A A
Hat die Matrix A A A m × n m \times n m × n a i j a_{ij} a ij i i i j j j A T A^T A T n × m n \times m n × m ( A T ) j i = a i j (A^T)_{ji} = a_{ij} ( A T ) j i = a ij
Dies bedeutet, dass das Element in der j j j i i i A T A^T A T i i i j j j A A A
So entsteht die transponierte Matrix:
Schreibe die erste Zeile der ursprünglichen Matrix als erste Spalte der Transponierten.
Schreibe die zweite Zeile als zweite Spalte.
Wiederhole den Vorgang für alle übrigen Zeilen.
Angenommen, wir haben die Matrix A A A
Dann ist die Transponierte der Matrix A A A
Die erste Zeile [ a b ] \begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix} [ a b ] [ a b ] \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} [ a b ] [ c d ] \begin{bmatrix} c & d \end{bmatrix} [ c d ] [ c d ] \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} [ c d ]
Gegeben ist die Matrix B B B 2 × 3 2 \times 3 2 × 3
Die Transponierte der Matrix B B B B T B^T B T 3 × 2 3 \times 2 3 × 2
Die erste Zeile von B B B [ 1 2 3 ] \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} [ 1 2 3 ] B T B^T B T
Die zweite Zeile von B B B [ 4 5 6 ] \begin{bmatrix} 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} [ 4 5 6 ]
Wenn C C C
Dann ist ihre Transponierte, C T C^T C T
Gegeben sei eine quadratische Matrix D D D
Dann ist ihre Transponierte, D T D^T D T
Einige wichtige Eigenschaften der Matrixtransponierung sind:
( A T ) T = A (A^T)^T = A ( A T ) T = A ( A + B ) T = A T + B T (A + B)^T = A^T + B^T ( A + B ) T = A T + B T ( A − B ) T = A T − B T (A - B)^T = A^T - B^T ( A − B ) T = A T − B T ( k A ) T = k A T (kA)^T = kA^T ( k A ) T = k A T k k k ( A B ) T = B T A T (AB)^T = B^T A^T ( A B ) T = B T A T Bestimme die Transponierte der folgenden Matrizen und gib den Typ der Ergebnismatrix an, zum Beispiel Zeilenmatrix, Spaltenmatrix oder Quadratmatrix.
A = [ 1 3 − 5 ] A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & -5 \end{bmatrix} A = [ 1 3 − 5 ]
B = [ 9 − 1 3 0 1 5 ] B = \begin{bmatrix} 9 & -1 \\ 3 & 0 \\ 1 & 5 \end{bmatrix} B = 9 3 1 − 1 0 5
C = [ 2 3 1 1 6 − 2 4 5 − 7 ] C = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 6 & -2 \\ 4 & 5 & -7 \end{bmatrix} C = 2 1 4 3 6 5 1 − 2 − 7
A T = [ 1 3 − 5 ] A^T = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -5 \end{bmatrix} A T = 1 3 − 5 Die einzige Zeile von A A A A T A^T A T 3 × 1 3 \times 1 3 × 1
B T = [ 9 3 1 − 1 0 5 ] B^T = \begin{bmatrix} 9 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 5 \end{bmatrix} B T = [ 9 − 1 3 0 1 5 ]
C T = [ 2 1 4 3 6 5 1 − 2 − 7 ] C^T = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 3 & 6 & 5 \\ 1 & -2 & -7 \end{bmatrix} C T = 2 3 1 1 6 − 2 4 5 − 7
Jede Zeile von B B B B T B^T B T 3 × 2 3 \times 2 3 × 2 2 × 3 2 \times 3 2 × 3
Liest man die Spalten von C C C C T C^T C T 3 × 3 3 \times 3 3 × 3
