Vollständige Polynomfaktorisierung

Polynome über den komplexen Zahlen in Linearfaktoren zerlegen

Mit dem Faktorsatz können wir Polynome schrittweise zerlegen. Manchmal bleibt dabei ein nichtlinearer Faktor zurück, etwa ein quadratischer Faktor ohne reelle Nullstellen. Über den komplexen Zahlen lässt auch er sich weiter zerlegen.

Bei einer $vollständigen Faktorisierung$ $schreiben wir ein Polynom als Produkt linearer Faktoren$ . Die zugehörigen Nullstellen dürfen dabei komplex sein.

Grundlage ist der Fundamentalsatz der Algebra: Jedes Polynom vom Grad $n \ge 1$ besitzt in den komplexen Zahlen genau $n$ Nullstellen, wenn ihre Vielfachheiten mitgezählt werden. Reelle Nullstellen sind darin enthalten.

Vollständige Faktorisierungseigenschaft von Polynomen

Wenn $P(x)$ ein Polynom vom Grad $n \ge 1$ mit dem führenden Koeffizienten $a_n \neq 0$ ist, dann gibt es komplexe Zahlen $c_1, c_2, \dots, c_n$ (die die Wurzeln von $P(x)$ sind), so dass:

\begin{aligned} &P(x) \\ &= a_n(x - c_1)(x - c_2)\dots(x - c_n) \end{aligned}

Damit lässt sich jedes Polynom vom Grad $n$ in genau $n$ lineare Faktoren der Form $(x - \text{Wurzel})$ zerlegen und mit seinem $Leitkoeffizienten$ multiplizieren.

Schritte zur vollständigen Faktorisierung

Jede Nullstelle liefert einen Linearfaktor. Bestimme Nullstellen durch $Gruppieren oder Prüfen rationaler Kandidaten$ und senke anschließend den Grad durch Division. Löse einen verbleibenden quadratischen Faktor mit der Lösungsformel, auch bei negativer Diskriminante.

Behalte den $Leitkoeffizienten$ und wiederholte Faktoren bei. Das folgende Polynom hat zum Beispiel drei Nullstellen, wenn du Wiederholungen mitzählst: eins, eins und minus zwei.

2x^3-6x+4=2(x-1)^2(x+2)

Verwendung der vollständigen Faktorisierung

Bestimme alle $komplexen Nullstellen$ von $P(x) = x^3 - x^2 + x - 1$ und faktorisiere das Polynom vollständig.

$Lösung$ :

$Schritt 1$ . Wurzeln finden Versuchen wir zunächst, $P(x)$ zu faktorisieren.

Faktorisieren durch Gruppierung:

P(x) = (x^3 - x^2) + (x - 1)

Bestimme nun die Nullstellen aus $P(x) = 0$ :

(x^2 + 1)(x - 1) = 0

Dadurch ergeben sich zwei Möglichkeiten:

x - 1 = 0 \implies x = 1

Die komplexen Wurzeln sind also $1, i, -i$ .

$Schritt 2$ . Lineare Faktoren bilden

Zur Nullstelle $1$ gehört der Faktor $(x - 1)$ . Zur Nullstelle $i$ gehört der Faktor $(x - i)$ . Zur Nullstelle $-i$ gehört der Faktor $(x - (-i)) = (x + i)$ .

$Schritt 3$ . Vollständige Faktorisierung schreiben

Der führende Koeffizient von $P(x)$ ist $a_3 = 1$ .

P(x) = 1 \cdot (x - 1)(x - i)(x + i)

Übung

Bestimme alle $komplexen Nullstellen$ von $P(x) = x^3 - 3x^2 + x + 5$ und faktorisiere anschließend $P(x)$ vollständig. Beginne mit den möglichen rationalen Nullstellen, prüfe sie durch Einsetzen und teile jeden gefundenen Faktor heraus, bis nur noch ein quadratischer Rest bleibt.

Ausführliche Lösung

$Schritt 1$ . Rationale Wurzeln finden (Rationaler Nullsatz)

$a_0 = 5$ , Faktoren $p$ : $\pm 1, \pm 5$ . $a_n = 1$ , Faktoren $q$ : $\pm 1$ . $Mögliche Wurzeln$ $p/q$ : $\pm 1, \pm 5$ . Prüfe $x = -1$ :

\begin{aligned} P(-1) &= (-1)^3-3(-1)^2 \\ &\quad{}+(-1)+5 \\ &= -1-3(1)-1+5 \\ &= -1-3-1+5 \\ &= 0 \end{aligned}

Also ist $x = -1$ eine Wurzel und $(x+1)$ ein Faktor.

$Schritt 2$ . Mit dem Horner-Schema dividieren ( $c = -1$ )

\begin{array}{c|cccc} -1 & 1 & -3 & 1 & 5 \\ & & -1 & 4 & -5 \\ \hline & 1 & -4 & 5 & \boxed{0} \\ \end{array}

Quotient $H(x) = x^2 - 4x + 5$ .

$P(x) = (x+1)(x^2 - 4x + 5)$ .

$Schritt 3$ . Bestimme die Nullstellen des Quotienten. Löse $x^2 - 4x + 5 = 0$ mit der $quadratischen Formel$ .

x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(5)}}{2(1)}

Die anderen Wurzeln sind $2 + i$ und $2 - i$ .

$Schritt 4$ . Fasse die komplexen Nullstellen zusammen. Die Nullstellen sind $-1, 2+i, 2-i$ .

$Schritt 5$ . Vollständige Faktorisierung ( $a_n = 1$ )

\begin{aligned} &P(x) \\ &=1\cdot(x-(-1)) \\ &\quad{}\cdot(x-(2+i))(x-(2-i)) \end{aligned}

Nicht reelle Wurzeln reeller Polynome

Die waagerechte Achse zeigt den Realteil, die senkrechte den Imaginärteil. Die Nullstellen $2+i$ und $2-i$ sind $Spiegelbilder an der reellen Achse$ . Die Nullstelle $-1$ liegt auf der reellen Achse.

Die Nullstellen -1, 2+i und 2-i

Die Nullstellen 2+i und 2-i liegen jeweils eine Einheit oberhalb und unterhalb der reellen Achse.

Die Paarbildung gilt, weil alle Koeffizienten reell sind. Den Funktionswert zu konjugieren ergibt dann dasselbe wie das Polynom an der konjugierten Eingabe auszuwerten:

P(\overline z)=\overline{P(z)}=\overline0=0

Aus $P(z)=0$ folgt somit auch $P(\overline z)=0$ . Die Voraussetzung reeller Koeffizienten ist nötig. Beispielsweise hat $P(z)=z-i$ einen komplexen Koeffizienten und nur die Nullstelle $i$ .