Vollständige Polynomfaktorisierung

Die vollständige Faktorisierung verstehen

Mit dem Faktorsatz können wir Polynome schrittweise zerlegen. Manchmal bleibt dabei ein nichtlinearer Faktor zurück, etwa ein quadratischer Faktor ohne reelle Nullstellen. Über den komplexen Zahlen lässt auch er sich weiter zerlegen.

Bei einer vollständigen Faktorisierung schreiben wir ein Polynom als Produkt linearer Faktoren. Die zugehörigen Nullstellen dürfen dabei komplex sein.

Grundlage ist der Fundamentalsatz der Algebra: Jedes Polynom vom Grad $n \ge 1$ besitzt in den komplexen Zahlen genau $n$ Nullstellen, wenn ihre Vielfachheiten mitgezählt werden. Reelle Nullstellen sind darin enthalten.

Vollständige Faktorisierungseigenschaft von Polynomen

Wenn $P(x)$ ein Polynom vom Grad $n \ge 1$ mit dem führenden Koeffizienten $a_n \neq 0$ ist, dann gibt es komplexe Zahlen (die die Wurzeln von sind), so dass:

Damit lässt sich jedes Polynom vom Grad $n$ in genau $n$ lineare Faktoren der Form $(x - \text{Wurzel})$ zerlegen und mit seinem Leitkoeffizienten multiplizieren.

Schritte zur vollständigen Faktorisierung

So gehst du bei der vollständigen Faktorisierung eines Polynoms $P(x)$ vor:

1. Alle komplexen Nullstellen bestimmen: Finde sämtliche $n$ Nullstellen von $P(x) = 0$. Dafür kommen mehrere Verfahren infrage:

   • Direkte Faktorisierung (Gruppierung usw.).
   • der Satz über rationale Nullstellen,
   • das Horner-Schema oder die Polynomdivision, sobald eine Nullstelle bekannt ist,
   • die Lösungsformel für quadratische Gleichungen, auch wenn komplexe Nullstellen $a \pm bi$ entstehen.

Verwendung der vollständigen Faktorisierung

Bestimme alle komplexen Nullstellen von $P(x) = x^3 - x^2 + x - 1$ und faktorisiere das Polynom vollständig.

Lösung:

1. Wurzeln finden: Versuchen wir zunächst, $P(x)$ zu faktorisieren.

   • Faktorisieren durch Gruppierung:

     $$P(x) = (x^3 - x^2) + (x - 1)$$

Übung

Bestimme alle komplexen Nullstellen von $P(x) = x^3 - 3x^2 + x + 5$ und faktorisiere anschließend $P(x)$ vollständig.

Ausführliche Lösung

1. Rationale Wurzeln finden (Rationaler Nullsatz):

   • $a_0 = 5$, Faktoren $p$: $\pm 1, \pm 5$.

Komplexe konjugierte Wurzelpaare

Kann ein Polynom mit reellen Koeffizienten genau eine nichtreelle komplexe Nullstelle besitzen? Nein.

Dies liegt an der Eigenschaft komplex konjugierter Paare. Wenn ein Polynom reelle Koeffizienten hat, dann treten seine nicht-reellen komplexen Wurzeln ($a + bi$ mit $b \neq 0$) immer in konjugierten Paaren auf.

Das heißt: Ist $a + bi$ eine Nullstelle, dann ist auch die konjugierte Zahl $a - bi$ eine Nullstelle des Polynoms.

Nichtreelle komplexe Nullstellen treten bei Polynomen mit reellen Koeffizienten deshalb immer paarweise auf. Ein solches Polynom kann also nicht genau eine nichtreelle Nullstelle besitzen.