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Bei einem Monom mit nur einer Variablen, etwa , ist der Grad gleich dem Exponenten .
Beispiele:
Wenn ein Monom mehr als eine Variable hat, ist sein Grad die Summe aller Variablenexponenten.
Beispiele:
Eine von null verschiedene Konstante wie hat den Grad . Schließlich können wir sie als schreiben, weil gilt.
Die Tabelle fasst die bisherigen Beispiele zusammen:
| Monom | Grad | Erklärung |
|---|---|---|
| Der Exponent von ist . | ||
| Der Exponent von ist . | ||
| Summe der Exponenten . | ||
| Konstante ungleich Null. Kann als geschrieben werden. |
Sobald der Grad jedes einzelnen Terms feststeht, lässt sich auch der Grad des gesamten Polynoms bestimmen.
Der Grad eines Polynoms ist der höchste Grad unter seinen Termen.
Schritte zur Bestimmung des Grades eines Polynoms:
Fasse gleichartige Terme zuerst zusammen. Terme mit hohen Exponenten können sich aufheben. Liest du die höchste Potenz vor dem Vereinfachen ab, kann deshalb der falsche Grad entstehen. Zum Beispiel:
Nach dem Zusammenfassen ist der Koeffizient der vierten Potenz null. Der höchste verbleibende Term hat den Grad zwei.
Beispiel 1:
Bestimme den Grad des folgenden Polynoms:
Der höchste Termgrad ist . Daher hat das Polynom den Grad .
Beispiel 2:
Bestimme den Grad des folgenden Polynoms:
Der höchste Termgrad ist . Daher hat das Polynom den Grad .
Beispiel 3:
Bestimme den Grad des folgenden Polynoms:
Der höchste Grad ist . Daher ist der Grad dieses Polynoms .
Hat auch das Nullpolynom den Grad , weil sich als schreiben lässt?
Allgemein in der Mathematik:
Die folgenden Aufgaben verwenden die erste Konvention, sodass der Grad des Nullpolynoms undefiniert bleibt. Von null verschiedene Konstanten haben den Grad . Bei jedem anderen Polynom entscheidet der Term mit dem höchsten Grad.
Bestimme den Grad von
Erkläre anschließend, warum dieselbe Gradregel dem Nullpolynom nicht den Grad zuweisen kann.
Wir addieren in jedem von null verschiedenen Term die Exponenten:
Der größte Termgrad ist , also gilt .
Das Nullpolynom besitzt keinen von null verschiedenen Term, dessen Grad als größter gewählt werden könnte. Deshalb ist sein Grad undefiniert. Würde man den Grad auf setzen, wären einige Regeln für Polynomgrade nicht mehr gültig.
Nimm beispielsweise und . Hätte das Nullpolynom den Grad null, hätten die beiden Seiten der Produktregel unterschiedliche Werte:
Veröffentlicht: . Aktualisiert: .
| Summe der Exponenten . |
