Polynomgrad

Bei einem Monom mit nur einer Variablen, etwa $ax^n$, ist der Grad gleich dem Exponenten $n$.

Beispiele:

• Das Monom $4x^5$ hat den Grad $5$.
• Das Monom $0{,}12x$ (oder $0{,}12x^1$) hat einen Grad von $1$.

Grad eines Monoms mit mehreren Variablen

Wenn ein Monom mehr als eine Variable hat, ist sein Grad die Summe aller Variablenexponenten.

Beispiele:

• Das Monom $\frac{3}{4}x^2y^7$ hat den Grad $2 + 7 = 9$.
• Das Monom $2{,}17x^3yz^3$ hat den Grad $3 + 1 + 3 = 7$, denn $y = y^1$.

Grad einer Konstante

Eine von null verschiedene Konstante wie $5$ hat den Grad $0$. Schließlich können wir sie als $5x^0$ schreiben, weil $x^0 = 1$ gilt.

Die Tabelle fasst die bisherigen Beispiele zusammen:

Definition des Monomialgrades

Der Grad eines Monoms mit einem Koeffizienten ungleich null ist die Summe der Exponenten aller Variablen. Für $ax^n$ ist der Grad daher $n$.

Bestimmen des Grades eines Polynoms

Sobald der Grad jedes einzelnen Terms feststeht, lässt sich auch der Grad des gesamten Polynoms bestimmen.

Der Grad eines Polynoms ist der höchste Grad unter seinen Termen.

Schritte zur Bestimmung des Grades eines Polynoms:

1. Zerlege das Polynom in seine einzelnen Terme.
2. Bestimme den Grad jedes Terms.
3. Wähle den höchsten dieser Grade. Er ist der Grad des Polynoms.

Beispiel $1$:

Bestimme den Grad des folgenden Polynoms:

• Der Term $8x^3$ hat den Grad $3$.
• Der Term $-36x^2$ hat den Grad $2$.
• Der Term $54x$ (oder $54x^1$) hat den Grad $1$.
• Der Term $-27$ (Konstante) hat den Grad $0$.

Der höchste Termgrad ist $3$. Daher hat das Polynom den Grad $3$.

Beispiel $2$:

Bestimme den Grad des folgenden Polynoms:

• Der Term $5x^4y^2$ hat den Grad $4 + 2 = 6$.
• Der Term $xy^2$ (oder $x^1y^2$) hat den Grad $1 + 2 = 3$.
• Der Term $-2x^5y^6$ hat den Grad $5 + 6 = 11$.

Der höchste Termgrad ist $11$. Daher hat das Polynom den Grad $11$.

Beispiel $3$:

Bestimme den Grad des folgenden Polynoms:

• Der Term $0{,}13x^3$ hat den Grad $3$.
• Der Term $1{,}56x^2$ hat den Grad $2$.
• Der Term $-2{,}24x$ hat den Grad $1$.
• Der Term $1{,}72$ hat den Grad $0$.

Der höchste Grad ist $3$. Daher ist der Grad dieses Polynoms $3$.

Definition des Polynomgrades

Der Grad eines Polynoms ist der höchste Grad seiner Terme.

Was ist mit dem Grad Null?

Hat auch das Nullpolynom $0$ den Grad $0$, weil sich $0$ als $0x^0$ schreiben lässt?

Allgemein in der Mathematik:

• Konstanten ungleich Null (wie $5, -27, 1{,}72$) haben einen Grad von $0$.
• Das Nullpolynom besitzt keinen von null verschiedenen Term, dessen Grad gewählt werden könnte. Deshalb bleibt sein Grad in dieser Lektion undefiniert. In manchen Zusammenhängen setzt man ihn formal auf negative Unendlichkeit ($-\infty$), damit Regeln wie $\deg(PQ)=\deg P+\deg Q$ auch bei Nullprodukten konsistent bleiben.

Für die folgenden Aufgaben genügt diese Unterscheidung: Von null verschiedene Konstanten haben den Grad $0$; beim Nullpolynom ist der Grad nicht definiert; bei jedem anderen Polynom entscheidet der Term mit dem höchsten Grad.

Übung

Bestimme den Grad von

Erkläre anschließend, warum dieselbe Regel dem Nullpolynom nicht den Grad $0$ zuweisen kann.

Ausführliche Lösung

Wir addieren in jedem von null verschiedenen Term die Exponenten:

• $4x^3y^2$ hat den Grad $3+2=5$.
• $-7x^2y^5$ hat den Grad $2+5=7$.
• $6$ hat den Grad $0$.

Der größte Termgrad ist $7$, also gilt $\deg P=7$.

Das Nullpolynom besitzt keinen von null verschiedenen Term, dessen Grad als größter gewählt werden könnte. Deshalb bleibt sein Grad in diesem Kurs undefiniert, statt auf $0$ gesetzt zu werden.