Polynomfunktion

Ein Polynom ordnet Eingaben Funktionswerte zu

Jede Eingabe liefert $genau einen Funktionswert$ . Für $P(x)=2x^2-3x+1$ und $x=2$ berechnest du zuerst die Potenzen, dann die Produkte und schließlich die Summe:

P(2)=2(2)^2-3(2)+1=8-6+1=3

Von der Eingabe zum Punkt im Graphen

Der Graph von P(x) = 2x² - 3x + 1. Der Punkt (2,3) zeigt: Zur Eingabe 2 gehört die Ausgabe 3.

Reelle Koeffizienten und nichtnegative ganzzahlige Exponenten ergeben eine Polynomfunktion, die für $jede reelle Eingabe$ definiert ist. Es gibt weder eine Variable im Nenner noch unter einer Wurzel, die Eingaben ausschließen würde.

Allgemeine Form einer Polynomfunktion

Für ein Polynom ungleich null ordnet die allgemeine Form $Potenzen und Koeffizienten$ . Der Leitkoeffizient ist ungleich null, und der höchste Exponent bestimmt den Grad:

P(x)=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k,\qquad a_n\ne0,\quad n\in\{0,1,2,\ldots\}

Notation	Bedeutung
$P(x)$	Funktionswert bei der Eingabe x.
$x$	Die Eingabevariable.
$n$	Der Grad, eine nichtnegative ganze Zahl.
$a_0,a_1,\ldots,a_n$	Reelle Koeffizienten der einzelnen Potenzen.
$a_nx^n$	Der Leitterm mit der höchsten Potenz.
$a_n$	Der Leitkoeffizient, der ungleich null sein muss.
$a_0$	Die Konstante, also der Funktionswert bei Eingabe null.

Auch $P(x)=0$ ist eine Polynomfunktion. Das $Nullpolynom hat jedoch keinen Leitterm ungleich null$ . Die dargestellte Form eines von null verschiedenen Polynoms legt daher seinen Grad nicht fest.

Beispiel einer Polynomfunktion

Betrachten wir die Funktion $f(x) = 5x^3 - 2x^2 + 7x - 1$ .

Dies ist eine Polynomfunktion in der Variablen $x$ .
Ihr Grad ist $3$ , also der höchste Exponent von $x$ .
Ihr Leitterm ist $5x^3$ .
Ihr Leitkoeffizient ist $5$ , also $a_3 = 5$ .
Weitere Koeffizienten sind $a_2 = -2$ und $a_1 = 7$ .
Ihr konstantes Glied ist $-1$ , also $a_0 = -1$ .

Ein Polynom ungleich null besitzt einen $Leitkoeffizienten ungleich null$ . Andere Koeffizienten dürfen null sein, wie der Koeffizient der dritten Potenz in der folgenden Aufgabe.

Übung

p(t)=-2t^4+3t^2-t+8

Bestimme den Grad, den Leitterm, den $Leitkoeffizienten$ , den Koeffizienten von $t^3$ und das konstante Glied. Berechne anschließend $p(2)$ .

Ausführliche Lösung

Zuerst schreiben wir die $fehlende Potenz$ mit einem Nullkoeffizienten:

p(t)=-2t^4+0t^3+3t^2-t+8

Grad: $4$
Leitterm: $-2t^4$
Leitkoeffizient: $-2$
Koeffizient von $t^3$ : $0$
Konstantes Glied: $8$

Nun setzen wir $t=2$ ein:

\begin{aligned}p(2)&=-2(2)^4+3(2)^2-2+8\\&=-32+12-2+8\\&=-14\end{aligned}