Polynomgraph

Grad und Koeffizienten prägen die Form des Graphen

Der Graph einer Polynomfunktion zeigt, wie sich der Funktionswert verändert, wenn sich der Eingabewert $x$ ändert. Seine Form hängt vom Grad und von den Koeffizienten der Funktion ab.

Einen Polynomgraphen mit Punkten skizzieren

Ein möglicher Einstieg besteht darin, mehrere Punkte $(x,y)$ zu berechnen, die auf dem Graphen liegen. Diese Punkte helfen beim Skizzieren, doch eine kleine Wertetabelle allein bestimmt noch nicht alle Eigenschaften des Graphen. Nullstellen, Extrempunkte und das Endverhalten liefern zusätzliche Kontrollen.

Schritte:

1. Wähle mehrere unterschiedliche Werte für $x$.
2. Berechne zu jedem ausgewählten $x$-Wert den Funktionswert $y = P(x)$.
3. Trage die Wertepaare $(x, y)$ in eine Tabelle ein.
4. Markiere die Punkte im Koordinatensystem.
5. Verbinde sie mit einer glatten, stetigen Kurve.

Lineare Funktion Grad Eins

Ein konstanter Zuwachs ergibt eine Gerade. Erhöht sich die Eingabe um eins, steigt der Funktionswert hier immer um zwei. Zum Beispiel:

Skizziere den Graphen der Funktion $f(x) = 2x + 5$.

Wir wählen mehrere $x$-Werte und berechnen $y$:

Trage die Punkte ein und verbinde sie:

Quadratische Funktion Grad Zwei

Die Scheitelpunktform zeigt den tiefsten Punkt und die Symmetrieachse:

Skizziere den Graphen der Funktion $g(x) = x^2 - 2x - 3$.

Wertetabelle:

Trage die Punkte ein und verbinde sie zu einer glatten Parabel:

Kubische Funktion Grad Drei

Ein wiederholter Faktor erklärt, warum der Graph die Achse an einer Nullstelle berührt und an der anderen schneidet:

Skizziere den Graphen der Funktion $h(x) = x^3 + 3x^2 - 4$.

Wertetabelle:

Trage die Punkte ein und verbinde sie mit einer glatten Kurve:

Die Ansicht zeigt $-3\le x\le1{,}25$, damit beide Extrempunkte und beide Nullstellen gut erkennbar sind. Die äußeren Tabellenwerte bleiben richtig, liegen aber außerhalb des dargestellten Ausschnitts.

Allgemeine Eigenschaften von Polynomgraphen

Graphen von Polynomfunktionen sind glatt, haben also keine scharfen Ecken, und stetig, besitzen also keine Sprünge oder Lücken. Ihre grobe Form wird stark vom Grad des Polynoms beeinflusst.

Bei positivem Grad ist der Leitkoeffizient ungleich null. Ein konstantes Polynom ungleich null hat Grad null. Der Graph des Nullpolynoms ist die gesamte waagerechte Achse. Sein Grad ist nach dieser Konvention jedoch nicht definiert.

• Grad $0$: $P(x) = c$. Der Graph ist eine horizontale Gerade.
• Grad $1$: $P(x) = ax + b$. Der Graph ist eine Gerade.
• Grad $2$: $P(x) = ax^2 + bx + c$. Der Graph ist eine Parabel.
• Grad $3$: $P(x) = ax^3 + \dots$. Seine beiden Enden zeigen in entgegengesetzte vertikale Richtungen, und er kann höchstens zwei Extrempunkte besitzen.
• Grad $4$: Der Graph kann bis zu drei Extrempunkte besitzen.
• Grad $5$: Der Graph kann bis zu vier Extrempunkte besitzen.

Ein Polynom vom Grad $n\ge1$ hat höchstens $n$ gemeinsame Punkte mit der waagerechten Achse und höchstens $n-1$ Extrempunkte. Diese Zahlen sind Obergrenzen. Sie müssen nicht erreicht werden. Beispielsweise hat $x^3$ keinen Extrempunkt.

Endverhalten

Der Leitterm bestimmt die Richtung an den Enden, weil die Terme kleineren Grades relativ zu ihm immer kleiner werden. Für positiven Grad gilt:

Jeder zusätzliche Bruch nähert sich null, wenn der Betrag der Eingabe unbegrenzt wächst. Die Klammer nähert sich daher eins, und der Leitterm bestimmt die Richtung. Die Bilder zeigen endliche Ausschnitte. Die Aussagen über unendliche Enden folgen aus dieser Rechnung.

Das Endverhalten nutzen

Das Endverhalten bestimmt die Richtungen weit links und rechts. In der Nähe des Ursprungs beeinflussen weiterhin alle Koeffizienten die Form. Der Graph kann sich deshalb mehrfach wenden, bevor er seinen endgültigen Endrichtungen folgt.

Beispiel 1. $f(x) = x^4 + 2x^3 - 2x - 3$

Leitterm: $x^4$ Grad $n=4$ (gerade) Führender Koeffizient $a_n=1$ (positiv) Endverhalten: Steigt nach links ($\nwarrow$), Steigt nach rechts ($\nearrow$)

Beispiel 2. $g(x) = -x^3 + 2x^2 - x + 1$

Leitterm: $-x^3$ Grad $n=3$ (ungerade) Führender Koeffizient $a_n=-1$ (negativ) Endverhalten: Steigt nach links ($\nwarrow$), fällt nach rechts ($\searrow$)

Beispiel 3. $h(x) = -x^6 - \frac{11}{4}x^5 + x^4 + 5x^3 + 2$

Leitterm: $-x^6$ Grad $n=6$ (gerade) Führender Koeffizient $a_n=-1$ (negativ) Endverhalten: Fällt nach links ($\swarrow$), Fällt nach rechts ($\searrow$)

Beispiel 4. $k(x) = 25x^5 - 20x^4 - 26x^3 + 12x^2 + 9x - 1$

Leitterm: $25x^5$ Grad $n=5$ (ungerade) Führender Koeffizient $a_n=25$ (positiv) Endverhalten: Fällt nach links ($\swarrow$), Steigt nach rechts ($\nearrow$)

Der Leitterm reicht also aus, um den Verlauf des Graphen an beiden Enden vorherzusagen.

Übung

Betrachte die Funktion

Bestimme Grad und Leitkoeffizient, reelle Nullstellen, das Verhalten an jeder Nullstelle und das Endverhalten. Beschreibe anschließend die Merkmale, die eine korrekte Skizze zeigen muss.

Ausführliche Lösung

Das Produkt der Leitterme ist $-x^3$. Daher hat das Polynom den Grad $3$ und den Leitkoeffizienten $-1$.

Aus der Faktorform lassen sich die Nullstellen direkt ablesen:

• $x=-1$ hat die Vielfachheit $1$. Dort schneidet der Graph die $x$-Achse.
• $x=2$ hat die Vielfachheit $2$. Dort berührt der Graph die $x$-Achse und kehrt um.

Da der Grad ungerade und der Leitkoeffizient negativ ist, gilt

Als weiterer Kontrollpunkt gilt $p(0)=-4$. Eine korrekte Skizze steigt also ganz links, schneidet die Achse bei $(-1,0)$, verläuft durch $(0,-4)$, berührt die Achse bei $(2,0)$ und fällt ganz rechts.