Logarithmen definieren

Logarithmen bestimmen einen unbekannten Exponenten

Ein Logarithmus bestimmt einen unbekannten Exponenten. Wenn $a^c=b$ gilt, liefert $\log_a b$ den Exponenten $c$.

Für reelle Logarithmen gelten die Bedingungen:

• $a$ ist die Basis
• $b$ ist das Argument
• $c$ ist der vom Logarithmus gelieferte Exponent

Die Bedingungen ergeben sich aus dem Verhalten der Exponentialfunktion. Eine zulässige Exponentialbasis ist positiv und darf nicht den Wert eins haben. Außerdem ist $a^c$ stets positiv. Deshalb kann ein reeller Logarithmus kein Argument kleiner oder gleich null haben.

Zwischen beiden Formen umwandeln

Jede Zeile beschreibt denselben Zusammenhang auf zwei Arten:

Beim Umwandeln bleibt die Basis unverändert. Das Ergebnis der Potenzierung wird zum Argument des Logarithmus, und der Exponent wird zum Wert des Logarithmus. In der dritten Zeile ergibt der negative Exponent einen Bruch.

Zehnerlogarithmus und natürlicher Logarithmus

Ein Logarithmus zur Basis $10$ heißt Zehnerlogarithmus. Die Basis wird häufig weggelassen:

Ein Logarithmus zur Basis $e$ heißt natürlicher Logarithmus und wird als $\ln x$ geschrieben. Die Konstante $e\approx2{,}71828$ heißt Eulersche Zahl. Beide Schreibweisen sind Sonderfälle von $\log_a x$.

Einen unbekannten Exponenten bestimmen

Eine idealisierte Kultur beginnt mit $2{.}000$ Bakterien und verdoppelt sich jede Stunde:

Um zu bestimmen, wann das kontinuierliche Modell $100{.}000$ erreicht, setzen wir die Bakterienzahl gleich dem Zielwert. Vor dem Bestimmen des Exponenten teilen wir beide Seiten durch die Anfangsmenge:

Mit einem Taschenrechner oder dem Basiswechsel erhalten wir:

Die kontinuierliche Kurve erreicht $100{.}000$ nach ungefähr $5{,}64\text{ Stunden}$. Wird die Kultur nur nach vollständig abgeschlossenen Stunden gezählt, ändert sich die Interpretation:

Das Ziel wird also erstmals nach $6\text{ Stunden}$ erreicht oder überschritten. Der Logarithmus löst die Gleichung. Der Kontext entscheidet, wie das reelle Ergebnis interpretiert werden muss.

Im Graphen liegt der Zielwert zwischen zwei stündlichen Beobachtungen. Der Punkt nach fünf Stunden liegt unter dem Zielwert, der Punkt nach sechs Stunden darüber.