Ein Logarithmus beantwortet eine Exponentenfrage
Ein Logarithmus kehrt das Potenzieren um. Wenn gilt, fragt der Logarithmus: „Mit welchem Exponenten muss die Basis potenziert werden, damit entsteht?“
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Ein Logarithmus kehrt das Potenzieren um. Wenn gilt, fragt der Logarithmus: „Mit welchem Exponenten muss die Basis potenziert werden, damit entsteht?“
Für reelle Logarithmen gelten die Bedingungen:
Die Bedingungen ergeben sich aus dem Verhalten der Exponentialfunktion. Eine zulässige Exponentialbasis ist positiv und nicht gleich eins. Außerdem ist stets positiv. Deshalb kann ein reeller Logarithmus kein Argument kleiner oder gleich null haben.
Jede Zeile beschreibt denselben Zusammenhang auf zwei Arten:
| Exponentialform | Logarithmusform |
|---|---|
Beim Umwandeln bleibt die Basis unverändert. Das Ergebnis der Potenzierung wird zum Argument des Logarithmus, und der Exponent wird zum Wert des Logarithmus.
Ein Logarithmus zur Basis heißt Zehnerlogarithmus. Die Basis wird häufig weggelassen:
Ein Logarithmus zur Basis heißt natürlicher Logarithmus und wird als geschrieben. Beide Schreibweisen sind Sonderfälle von .
Eine idealisierte Kultur beginnt mit Bakterien und verdoppelt sich jede Stunde:
Um zu bestimmen, wann das kontinuierliche Modell erreicht, setzen wir den Funktionswert gleich dem Zielwert:
Mit einem Taschenrechner oder dem Basiswechsel erhalten wir:
Die kontinuierliche Kurve erreicht nach ungefähr . Wird die Kultur nur nach vollständig abgeschlossenen Stunden gezählt, ändert sich die Interpretation:
Das Ziel wird also erstmals nach erreicht oder überschritten. Der Logarithmus löst die Gleichung. Der Kontext entscheidet, wie das reelle Ergebnis interpretiert werden muss.