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Logarithmengesetze sind keine voneinander losgelösten Formeln, die ohne Zusammenhang auswendig gelernt werden müssen. Jedes Gesetz folgt aus dem entsprechenden Potenzgesetz.
In diesem Kapitel gelten die Voraussetzungen:
Wenn oder als Logarithmusbasis verwendet wird, muss auch diese Basis positiv und ungleich eins sein.
| Gesetz | Identität |
|---|---|
| Logarithmus der Basis | |
| Logarithmus von eins | |
| Umkehrbeziehung | |
| Produkt | |
| Quotient | |
| Potenz | |
| Basiswechsel | |
| Kette |
Die ersten drei Gesetze folgen unmittelbar aus , und der Umkehrbeziehung zwischen Logarithmen und Potenzen. Die folgenden Abschnitte erklären die Gesetze, die mehrere Werte miteinander verknüpfen.
Setze:
Beim Multiplizieren von und werden ihre Exponenten addiert:
Der Logarithmus zur Basis ergibt:
Mit denselben Substitutionen führt die Division zur Subtraktion der Exponenten:
Daraus folgt:
Setze , also . Für jedes reelle ist wegen definiert:
Dieser Beweis gilt unmittelbar für reelle Exponenten. Eine Erklärung durch wiederholtes Multiplizieren würde nur positive ganzzahlige Exponenten erfassen.
Setze , also . Logarithmiere beide Seiten mit einer beliebigen zulässigen Basis :
Da gilt, ist damit die Basiswechselformel bewiesen. Die Wahl liefert die Kehrwertbeziehung:
Schreibt man beide Logarithmen mit derselben zulässigen Basis, wird die Kürzung sichtbar:
Berechne .
Wegen liefern das Potenzgesetz und die Umkehrbeziehung:
Das Ergebnis beantwortet zugleich die ursprüngliche Exponentenfrage: .
Vereinfache jeden Ausdruck.
Es gelte und . Drücke durch und aus.
Eine Stadt hat Einwohner. Das Modell nimmt ein Wachstum von am Ende jedes Jahres an. Nach wie vielen vollständigen Jahren erreicht die Einwohnerzahl in diesem Modell erstmals mindestens ?
Dini legt auf einem Konto mit jährlich verzinsten an. Weitere Einzahlungen, Abhebungen, Gebühren und Zinsänderungen werden ausgeschlossen. Nach wie vielen vollständigen Jahren erreicht das Guthaben erstmals mindestens ?
Wegen :
Verwende das Quotientengesetz:
Wegen :
Verwende die Basis in Zähler und Nenner:
Das Kehrwertgesetz liefert . Somit gilt:
Das Modell mit konstanter Wachstumsrate lautet:
Löse zunächst die kontinuierliche Gleichung:
Da das Modell nach vollständigen Jahren aktualisiert wird, müssen die benachbarten ganzen Zahlen geprüft werden:
Die Einwohnerzahl erreicht das Ziel erstmals nach . Das Ergebnis ist eine mathematische Projektion unter den genannten Annahmen einer konstanten Wachstumsrate, keine demografische Vorhersage.
Das Modell mit jährlicher Verzinsung lautet:
Löse die kontinuierliche Gleichung:
Die Zinsen werden erst nach jedem vollständigen Jahr gutgeschrieben. Deshalb werden die Jahre und verglichen:
Das Guthaben erreicht das Ziel erstmals nach .
