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So entsteht ein leicht erkennbares Muster: In jeder Phase stecken sich dreimal so viele Menschen neu an wie in der Phase davor. Bei einem echten Ausbruch ist das natürlich anders. Kontakte überschneiden sich, Menschen genesen und die Ansteckung verändert sich mit der Zeit. Unser Beispiel erklärt exponentielles Wachstum unter gleich bleibenden Bedingungen.
Jede Zahl zeigt, wie viele Menschen sich in genau dieser Phase neu anstecken. Sie ist noch nicht die Summe aller Phasen:
| Phase | Neu infiziert | Summe seit der ersten Phase |
|---|---|---|
bezeichnet die Zahl der Menschen, die sich in Phase neu anstecken:
Die Summe der neuen Infektionen von Phase eins bis Phase ist eine geometrische Reihe. Das erste Glied und der Quotient sind beide :
Die beiden Formeln beantworten also verschiedene Fragen: beschreibt eine einzelne Phase, addiert alle abgeschlossenen Phasen.
Das Diagramm vergleicht drei Formeln für dieselben Phasenwerte:
Nur die Exponentialkurve entspricht der Regel „in jeder Phase mit drei multiplizieren“. Die beiden anderen Kurven dienen als Formvergleich und sind keine alternativen Aussagen über eine Übertragung.
Wie viele Menschen stecken sich in unserem Beispiel in Phase neu an?
Wie viele neue Infektionen kommen zusammen, wenn wir die Phasen bis addieren?
Welcher Teil der Regel „in jeder Phase mit drei multiplizieren“ passt zur Exponentialkurve?
Das Exponentialmodell multipliziert die vorherige Phase mit . Ein lineares Modell würde in jeder Phase denselben Betrag addieren. Die Multiplikation mit einem festen Faktor und die Addition eines festen Betrags sind unterschiedliche Prozesse.
Allein in Phase stecken sich in unserem Beispiel Menschen neu an. Addieren wir die Phasen bis , kommen wir auf neue Infektionen. Die eine Person, die schon vor der ersten Phase infiziert war, ist in dieser Summe noch nicht enthalten.
Die riesigen Zahlen entstehen durch unsere einfachen Annahmen: Jede neu infizierte Person steckt genau drei weitere Menschen an, niemand wird doppelt gezählt und noch niemand ist genesen. So lässt sich exponentielles Wachstum gut verstehen. Wie viele Menschen sich bei einem echten Ausbruch anstecken, kann dieses Beispiel jedoch nicht vorhersagen.
Für mit und gilt:
Diese allgemeinen Funktionseigenschaften gelten für reelle Eingaben. Für die Anzahl der Übertragungsphasen verwenden wir nur nichtnegative ganze Zahlen. Die Definitionsmenge der mathematischen Funktion und die Beobachtungszeitpunkte des Modells unterscheiden sich also.
Exponentialfunktionen können Zinseszins, radioaktiven Zerfall, wiederholte Verdopplung und kurze Phasen von Bevölkerungs- oder Übertragungsänderungen modellieren. Vor dem Einsatz muss geprüft werden, ob der Prozess in gleichen Intervallen tatsächlich einen annähernd konstanten Faktor verwendet. Ändern sich Rate, Ressourcen oder Wechselwirkungen, muss sich auch das Modell ändern.
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Die Exponentialkurve verdreifacht sich von Phase zu Phase. Ein echter Ausbruch folgt diesem sauberen Muster nicht dauerhaft.
