Potenzgesetze beweisen

Vor jeder Regel den Definitionsbereich angeben

Potenzgesetze hängen von der $Art des Exponenten$ und vom $Vorzeichen der Basis$ ab. Die folgenden sieben Identitäten sind nützlich, doch ihre Bedingungen gehören jeweils zur Aussage.

Gesetz	Identität	Hier verwendete Bedingungen
Produkt gleicher Basen	$a^m a^n=a^{m+n}$	$a\neq0$ , $m,n\in\mathbb{Z}$
Quotient gleicher Basen	$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$	$a\neq0$ , $m,n\in\mathbb{Z}$
Potenz einer Potenz	$(a^m)^n=a^{mn}$	$a\neq0$ , $m,n\in\mathbb{Z}$
Potenz eines Produkts	$(ab)^m=a^m b^m$	$a,b\neq0$ , $m\in\mathbb{Z}$
Potenz eines Quotienten	$\left(\frac ab\right)^m=\frac{a^m}{b^m}$	$a,b\neq0$ , $m\in\mathbb{Z}$
Rationale Potenzen mit gleichem Nenner	$a^{m/n}a^{p/n}=a^{(m+p)/n}$	$a>0$ , $m,n,p\in\mathbb{Z}$ , $n\neq0$
Allgemeine rationale Potenzen	$a^{m/n}a^{p/q}=a^{(mq+pn)/(nq)}$	$a>0$ , $m,n,p,q\in\mathbb{Z}$ , $n,q\neq0$

Die Regeln für ganzzahlige Exponenten lassen sich teilweise auf andere Bereiche erweitern. Solche Erweiterungen benötigen jedoch zusätzliche Bedingungen. Unter den in der Tabelle genannten Voraussetzungen ist jeder Ausdruck über den reellen Zahlen eindeutig definiert.

Beweise für ganzzahlige Exponenten

Die Beweise unten schreiben jede Potenz als $wiederholte Multiplikation$ . Diese Form zeigt direkt, warum sich die Exponenten addieren, subtrahieren oder multiplizieren. Lies jeden Beweis als kurze Kette von Gleichungen und prüfe, dass jeder Schritt nur die Definition der Potenz benutzt.

Produkt gleicher Basen

Für positive ganze Zahlen $m$ und $n$ wird jede Potenz als $wiederholte Multiplikation$ geschrieben:

a^m=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{m\text{ Faktoren}}

Der Fall null folgt aus $a^0=1$ . Negative ganzzahlige Exponenten folgen aus $a^{-k}=\frac1{a^k}$ . Deshalb muss $a$ ungleich null sein.

Quotient gleicher Basen

Bei $m\geq n$ kürzt die Division $n$ $Faktoren aus dem Zähler$ :

\frac{a^m}{a^n}=\frac{\overbrace{a\cdots a}^{m\text{ Faktoren}}}{\underbrace{a\cdots a}_{n\text{ Faktoren}}}=a^{m-n}

Bei $m<n$ bleiben die nicht gekürzten Faktoren im Nenner. Die Definition negativer Exponenten führt zum selben Ergebnis:

\frac{a^m}{a^n}=\frac1{a^{n-m}}=a^{-(n-m)}=a^{m-n}

Potenz einer Potenz

Für positives $n$ $tritt der Faktor$ $a^m$ genau $n$ -mal auf:

\begin{aligned} (a^m)^n &=\underbrace{a^m a^m\cdots a^m}_{n\text{ Faktoren}} \\ &=a^{m+m+\cdots+m} \\ &=a^{mn} \end{aligned}

Die Regel für den Exponenten null deckt den Fall $n=0$ ab. Für negatives $n$ wird der Kehrwert gebildet.

Potenz eines Produkts und Quotienten

Für positives $m$ ergibt das $Umgruppieren der Faktoren$ :

(ab)^m=\underbrace{(ab)(ab)\cdots(ab)}_{m\text{ Faktoren}}=a^m b^m

Die Fälle null und negativ folgen erneut aus $x^0=1$ und $x^{-k}=\frac1{x^k}$ . Nicht verschwindende Basen stellen sicher, dass alle benötigten Kehrwerte definiert sind.

Beweise für rationale Exponenten

Für rationale Exponenten verwenden wir eine $positive Basis$ . Wir schreiben beide Faktoren als ganzzahlige Potenzen derselben positiven Wurzel. Die Nenner werden positiv gewählt. Ist ein Nenner zunächst negativ, multipliziere Zähler und Nenner zuerst mit minus eins.

Gleiche Nenner

Setze $t=\sqrt[n]{a}>0$ . Wegen $a^{m/n}=t^m$ und $a^{p/n}=t^p$ können wir das bewiesene $Gesetz für ganzzahlige Exponenten$ anwenden:

\begin{aligned} a^{m/n}a^{p/n} &=t^m t^p \\ &=t^{m+p} \\ &=a^{(m+p)/n} \end{aligned}

Verschiedene Nenner

Wähle die $gemeinsame Wurzel$ $t=\sqrt[nq]{a}>0$ . Es gilt $(t^q)^n=a$ und $(t^n)^q=a$ . Daher ist die positive Wurzel $\sqrt[n]{a}$ gleich $t^q$ und $\sqrt[q]{a}$ gleich $t^n$ . Somit gilt:

\begin{aligned} a^{m/n}a^{p/q} &=(t^q)^m(t^n)^p \\ &=t^{mq}t^{np} \\ &=t^{mq+np} \\ &=a^{(mq+pn)/(nq)} \end{aligned}

Potenzgesetze anwenden und überprüfen

Die Beispiele unten wenden die Gesetze an und $prüfen anschließend das Ergebnis$ . Jedes Beispiel nennt das verwendete Gesetz, sodass die Schritte nachvollziehbar bleiben. Decke die Lösung ab, rechne selbst und nutze das genannte Gesetz, um eine Abweichung zu finden.

Einen unbekannten Exponenten bestimmen

Um einen Exponenten zu bestimmen, schreibe beide Seiten mit $derselben positiven Basis ungleich eins$ . Unter dieser Voraussetzung liefern verschiedene Exponenten verschiedene Funktionswerte. Das Multiplikationsbeispiel zwischen den beiden Gleichungen überprüft außerdem die Addition der Exponenten.

Bestimme $p$ in $(3^4)^2=3^p$ .
$(3^4)^2=3^{4\cdot2}=3^8$
Überprüfe $b^4 b^5=b^9$ für $b\neq0$ .
$b^4 b^5=b^{4+5}$
Beide Seiten besitzen dieselbe Basis und denselben Exponenten. Damit ist die Identität bestätigt.
Bestimme $p$ in $(3\pi)^p=27\pi^3$ .
$27\pi^3=3^3\pi^3=(3\pi)^3$

Ausdrücke vereinfachen

Jeder Ausdruck unten verbindet mehrere Potenzgesetze. Arbeite $von innen nach außen$ und vereinfache Zahlen und Variablen getrennt, damit ein Fehler im einen Teil nicht im anderen verschwindet.

Vereinfache $\left(\frac{2^4 3^6}{2^3 3^2}\right)^3$ .

$\begin{aligned} \left(\frac{2^4 3^6}{2^3 3^2}\right)^3 &=\left(2^{4-3}3^{6-2}\right)^3 \\ &=\left(2\cdot3^4\right)^3 \\ &=2^3 3^{12} \end{aligned}$
Vereinfache $(3u^3v^5)(9u^4v)$ .

$\begin{aligned} (3u^3v^5)(9u^4v) &=27u^{3+4}v^{5+1} \\ &=27u^7v^6 \end{aligned}$
Vereinfache für $n\neq0$ und $r\neq0$ den Ausdruck $\left(\frac{n^{-1}r^4}{5n^{-6}r^{-4}}\right)^2$ .

$\begin{aligned} \left(\frac{n^{-1}r^4}{5n^{-6}r^{-4}}\right)^2 &=\left(\frac{n^{-1-(-6)}r^{4-(-4)}}5\right)^2 \\ &=\left(\frac{n^5r^8}{5}\right)^2 \\ &=\frac{n^{10}r^{16}}{25} \end{aligned}$