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Wenn oder als Logarithmusbasis verwendet wird, muss auch diese Basis positiv und ungleich eins sein.
| Gesetz | Identität |
|---|---|
| Logarithmus der Basis | |
| Logarithmus von eins | |
| Umkehrbeziehung | |
| Produkt | |
| Quotient | |
| Potenz | |
| Basiswechsel | |
| Kette |
Die ersten drei Gesetze folgen unmittelbar aus , und der Umkehrbeziehung zwischen Logarithmen und Potenzen.
Jedes Logarithmusgesetz folgt aus dem passenden Potenzgesetz. Ein Logarithmus gibt den Exponenten an, der eine bestimmte Zahl erzeugt, ein Gesetz über Exponenten wird also zu einem Gesetz über Logarithmen.
Setze:
Beim Multiplizieren von und werden ihre Exponenten addiert:
Der Logarithmus zur Basis ergibt:
Mit denselben Substitutionen führt die Division zur Subtraktion der Exponenten:
Daraus folgt:
Setze , also . Für jedes reelle ist wegen definiert:
Dieser Beweis gilt unmittelbar für reelle Exponenten. Eine Erklärung durch wiederholtes Multiplizieren würde nur positive ganzzahlige Exponenten erfassen.
Setze , also . Logarithmiere beide Seiten mit einer beliebigen zulässigen Basis :
Da gilt, ist damit die Basiswechselformel bewiesen. Die Wahl liefert die Kehrwertbeziehung:
Nach dem Wechsel auf dieselbe Basis steht einmal im Zähler und einmal im Nenner, sodass sich beide Faktoren kürzen:
Berechne .
Wegen liefern das Potenzgesetz und die Umkehrbeziehung:
Das Ergebnis beantwortet zugleich die ursprüngliche Exponentenfrage: .
Die vier Aufgaben unten üben die Produktregel, die Quotientenregel, die Potenzregel und den Basiswechsel gemeinsam. Rechne jede Aufgabe, bevor du die Lösungen liest, und vergleiche danach deine Rechenschritte mit den Antworten.
Vereinfache drei Ausdrücke, die jeweils eine Regel brauchen: , und .
Es gelte und . Drücke durch und aus.
Eine Stadt hat Einwohner. Das Modell nimmt ein Wachstum von am Ende jedes Jahres an. Nach wie vielen vollständigen Jahren erreicht die Einwohnerzahl in diesem Modell erstmals mindestens ?
Dini legt auf einem Konto mit jährlich verzinsten an. Weitere Einzahlungen, Abhebungen, Gebühren und Zinsänderungen werden ausgeschlossen. Nach wie vielen vollständigen Jahren erreicht das Guthaben erstmals mindestens ?
Bestimme bei einem numerischen Logarithmus die passende Potenz. Bei einem Wachstumsziel berechnest du die Zeit und prüfst die benachbarten ganzen Jahre mit der ursprünglichen Formel. Achte beim Zusammenfassen oder Zerlegen von Logarithmen weiterhin auf positive Argumente.
Aufgabe 1. Wegen :
Verwende das Quotientengesetz:
Wegen :
Aufgabe 2. Verwende die Basis in Zähler und Nenner:
Das Kehrwertgesetz liefert . Somit gilt:
Aufgabe 3. Um den Zeitpunkt zu bestimmen, an dem die Einwohnerzahl das Ziel erreicht, verwenden wir das Modell mit konstanter Wachstumsrate:
Löse zunächst die kontinuierliche Gleichung:
Da das Modell nach vollständigen Jahren aktualisiert wird, müssen die benachbarten ganzen Zahlen geprüft werden:
Die Einwohnerzahl erreicht das Ziel erstmals nach . Das Ergebnis ist eine mathematische Projektion unter den genannten Annahmen einer konstanten Wachstumsrate und gilt nur innerhalb dieser Annahmen.
Aufgabe 4. Um den Zeitpunkt zu bestimmen, an dem das Guthaben das Sparziel erreicht, verwenden wir das Modell mit jährlicher Verzinsung:
Löse die kontinuierliche Gleichung:
Die Zinsen werden erst nach jedem vollständigen Jahr gutgeschrieben. Deshalb werden die Jahre und verglichen:
Das Guthaben erreicht das Ziel erstmals nach .
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