Nenner mit Wurzeln rationalisieren

Was sich beim Rationalisieren ändert

Beim Rationalisieren wird ein Bruch in eine gleichwertige Form $ohne Wurzel im Nenner umgeschrieben$ . Sein Wert bleibt unverändert, weil Zähler und Nenner $mit demselben Ausdruck$ ungleich null multipliziert werden.

Für einen Nenner mit zwei Termen ist diese Identität entscheidend:

(u+v)(u-v)=u^2-v^2

Die Ausdrücke $u+v$ und $u-v$ sind $konjugiert$ . Bei ihrer Multiplikation heben sich die mittleren Terme auf.

Eine Wurzel im Nenner

Für $b>0$ wird mit dem Faktor $\frac{\sqrt b}{\sqrt b}=1$ multipliziert:

\frac a{\sqrt b}\cdot\frac{\sqrt b}{\sqrt b}=\frac{a\sqrt b}{b}

Der passende Wurzelfaktor ist eine $Darstellung der Zahl eins$ . Er heißt nicht konjugierter Ausdruck, da er nur aus einem Term besteht.

Summe oder Differenz zweier Wurzeln

Es gelte $a,b\geq0$ und $a\neq b$ . Multipliziere mit dem $konjugierten Ausdruck des Nenners$ :

\begin{aligned} \frac c{\sqrt a+\sqrt b}\cdot\frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt a-\sqrt b} &=\frac{c(\sqrt a-\sqrt b)}{a-b} \end{aligned}

Zum Beispiel:

\begin{aligned} \frac4{\sqrt7+\sqrt3} &=\frac{4(\sqrt7-\sqrt3)}{7-3} \\ &=\sqrt7-\sqrt3 \end{aligned}

Ein rationaler Term und ein Wurzelterm

Es gelte $b\geq0$ und $a^2\neq b$ . Der konjugierte Ausdruck erzeugt wieder eine $Differenz von Quadraten$ :

\frac c{a+\sqrt b}\cdot\frac{a-\sqrt b}{a-\sqrt b}=\frac{c(a-\sqrt b)}{a^2-b}

Zum Beispiel:

\frac6{4+\sqrt3}=\frac{6(4-\sqrt3)}{16-3}=\frac{6(4-\sqrt3)}{13}

Wurzelausdrücke und Potenzausdrücke vereinfachen

Für die folgenden Aufgaben werden $positiv$ e Variablen vorausgesetzt. Dadurch können die Regeln für gebrochene Exponenten ohne zusätzliche Betragsfälle verwendet werden. Schreibe jede Wurzel als gebrochene Potenz und vereinfache anschließend die Exponenten.

Vereinfache:

$\left(\frac{8x^5y^{-4}}{16y^{-1/4}}\right)^{1/2}$
Vereinfache:

$\left(5\sqrt{x^5}\right)\left(3\sqrt[3]x\right)$
Vereinfache:

$\left(\frac{p^5q^{-10}}{p^5q^{-4}}\right)^{1/2}\left(\frac{p^{1/4}q^{-1/2}}{p^{-1/2}q^{-1/2}}\right)^{1/2}$

Lösungen zum Vereinfachen von Wurzelausdrücken

Fasse $Zahlenfaktor und Exponenten$ zusammen, bevor du die Quadratwurzel ziehst:

$\begin{aligned} \left(\frac{8x^5y^{-4}}{16y^{-1/4}}\right)^{1/2}&=\left(\frac12x^5y^{-15/4}\right)^{1/2} \\ &=2^{-1/2}x^{5/2}y^{-15/8} \\ &=\frac{x^{5/2}}{\sqrt2\,y^{15/8}} \end{aligned}$
Schreibe beide Wurzeln als gebrochene Potenzen:

$\begin{aligned} \left(5\sqrt{x^5}\right)\left(3\sqrt[3]x\right)&=15x^{5/2}x^{1/3} \\ &=15x^{15/6+2/6}=15x^{17/6} \\ &=15x^2\sqrt[6]{x^5} \end{aligned}$
Vereinfache $jeden Bruch einzeln$ , bevor du die Wurzeln ziehst und die Ergebnisse multiplizierst:
$\frac{p^5q^{-10}}{p^5q^{-4}}=p^{5-5}q^{-10-(-4)}=q^{-6}$
Ziehe aus jedem Ergebnis die Quadratwurzel und multipliziere dann:

$\begin{aligned} \left(q^{-6}\right)^{1/2}\left(p^{3/4}\right)^{1/2}&=q^{-3}p^{3/8} \\ &=\frac{p^{3/8}}{q^3} \\ &=\frac{\sqrt[8]{p^3}}{q^3} \end{aligned}$

Aufgaben zum Rationalisieren

Die Aufgaben unten verlangen, eine Wurzel aus dem Nenner zu entfernen. Multipliziere Zähler und Nenner mit demselben Ausdruck, damit sich der $Wert des Bruchs nicht ändert$ , und wähle diesen Ausdruck so, dass der neue Nenner rational wird.

Rationalisiere für $b>0$ :

$\frac2{\sqrt{b^3}}$
Rationalisiere:

$\frac2{\sqrt3+\sqrt5}$
Rationalisiere für $m\geq0$ und $m\neq n^2$ :

$\frac m{\sqrt m+n}$

Lösungen zum Rationalisieren von Nennern

Jede Lösung unten multipliziert mit einem $Bruch vom Wert eins$ . In Zähler und Nenner dieses Faktors steht dieselbe Wurzel oder derselbe konjugierte Ausdruck. Achte darauf, wie der gewählte Faktor die Wurzel entfernt, ohne den Wert des Bruchs zu ändern.

Für $b>0$ gilt $\sqrt{b^3}\sqrt b=\sqrt{b^4}=b^2$ :

$\begin{aligned} \frac2{\sqrt{b^3}}\cdot\frac{\sqrt b}{\sqrt b}&=\frac{2\sqrt b}{\sqrt{b^4}} \\ &=\frac{2\sqrt b}{b^2} \end{aligned}$
Multipliziere mit dem konjugierten Ausdruck:

$\begin{aligned} \frac2{\sqrt3+\sqrt5}\cdot\frac{\sqrt3-\sqrt5}{\sqrt3-\sqrt5} &=\frac{2(\sqrt3-\sqrt5)}{3-5} \\ &=\sqrt5-\sqrt3 \end{aligned}$
Der konjugierte Ausdruck des Nenners ist $\sqrt m-n$ :

$\begin{aligned} \frac m{\sqrt m+n}\cdot\frac{\sqrt m-n}{\sqrt m-n}&=\frac{m(\sqrt m-n)}{m-n^2} \\ &=\frac{m\sqrt m-mn}{m-n^2} \end{aligned}$

Die endgültige Form prüfen

Der Nenner darf keine Wurzel enthalten.
Jeder $Multiplikationsfaktor muss eins$ ergeben und unter den angegebenen Bedingungen definiert sein.
Das Ziel ist eine gleichwertige exakte Form. Durch Rationalisieren wird eine Dezimalnäherung nicht automatisch genauer.

Diese Prüfungen zeigen, warum jeder Schritt gültig ist und wann das Verfahren angewendet werden kann.

Was sich beim Rationalisieren ändert

Für einen Nenner mit zwei Termen ist diese Identität entscheidend:

(u+v)(u-v)=u^2-v^2

Die Ausdrücke $u+v$ und $u-v$ sind $konjugiert$ . Bei ihrer Multiplikation heben sich die mittleren Terme auf.

Eine Wurzel im Nenner

Für $b>0$ wird mit dem Faktor $\frac{\sqrt b}{\sqrt b}=1$ multipliziert:

\frac a{\sqrt b}\cdot\frac{\sqrt b}{\sqrt b}=\frac{a\sqrt b}{b}

Der passende Wurzelfaktor ist eine $Darstellung der Zahl eins$ . Er heißt nicht konjugierter Ausdruck, da er nur aus einem Term besteht.

Summe oder Differenz zweier Wurzeln

Es gelte $a,b\geq0$ und $a\neq b$ . Multipliziere mit dem $konjugierten Ausdruck des Nenners$ :

\begin{aligned} \frac c{\sqrt a+\sqrt b}\cdot\frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt a-\sqrt b} &=\frac{c(\sqrt a-\sqrt b)}{a-b} \end{aligned}

Zum Beispiel:

\begin{aligned} \frac4{\sqrt7+\sqrt3} &=\frac{4(\sqrt7-\sqrt3)}{7-3} \\ &=\sqrt7-\sqrt3 \end{aligned}

Ein rationaler Term und ein Wurzelterm

Es gelte $b\geq0$ und $a^2\neq b$ . Der konjugierte Ausdruck erzeugt wieder eine $Differenz von Quadraten$ :

\frac c{a+\sqrt b}\cdot\frac{a-\sqrt b}{a-\sqrt b}=\frac{c(a-\sqrt b)}{a^2-b}

Zum Beispiel:

\frac6{4+\sqrt3}=\frac{6(4-\sqrt3)}{16-3}=\frac{6(4-\sqrt3)}{13}

Wurzelausdrücke und Potenzausdrücke vereinfachen

Vereinfache:

$\left(\frac{8x^5y^{-4}}{16y^{-1/4}}\right)^{1/2}$
Vereinfache:

$\left(5\sqrt{x^5}\right)\left(3\sqrt[3]x\right)$
Vereinfache:

$\left(\frac{p^5q^{-10}}{p^5q^{-4}}\right)^{1/2}\left(\frac{p^{1/4}q^{-1/2}}{p^{-1/2}q^{-1/2}}\right)^{1/2}$

Lösungen zum Vereinfachen von Wurzelausdrücken

Fasse $Zahlenfaktor und Exponenten$ zusammen, bevor du die Quadratwurzel ziehst:

$\begin{aligned} \left(\frac{8x^5y^{-4}}{16y^{-1/4}}\right)^{1/2}&=\left(\frac12x^5y^{-15/4}\right)^{1/2} \\ &=2^{-1/2}x^{5/2}y^{-15/8} \\ &=\frac{x^{5/2}}{\sqrt2\,y^{15/8}} \end{aligned}$
Schreibe beide Wurzeln als gebrochene Potenzen:

$\begin{aligned} \left(5\sqrt{x^5}\right)\left(3\sqrt[3]x\right)&=15x^{5/2}x^{1/3} \\ &=15x^{15/6+2/6}=15x^{17/6} \\ &=15x^2\sqrt[6]{x^5} \end{aligned}$
Vereinfache $jeden Bruch einzeln$ , bevor du die Wurzeln ziehst und die Ergebnisse multiplizierst:
$\frac{p^5q^{-10}}{p^5q^{-4}}=p^{5-5}q^{-10-(-4)}=q^{-6}$
Ziehe aus jedem Ergebnis die Quadratwurzel und multipliziere dann:

$\begin{aligned} \left(q^{-6}\right)^{1/2}\left(p^{3/4}\right)^{1/2}&=q^{-3}p^{3/8} \\ &=\frac{p^{3/8}}{q^3} \\ &=\frac{\sqrt[8]{p^3}}{q^3} \end{aligned}$

Aufgaben zum Rationalisieren

Rationalisiere für $b>0$ :

$\frac2{\sqrt{b^3}}$
Rationalisiere:

$\frac2{\sqrt3+\sqrt5}$
Rationalisiere für $m\geq0$ und $m\neq n^2$ :

$\frac m{\sqrt m+n}$

Lösungen zum Rationalisieren von Nennern

Für $b>0$ gilt $\sqrt{b^3}\sqrt b=\sqrt{b^4}=b^2$ :

$\begin{aligned} \frac2{\sqrt{b^3}}\cdot\frac{\sqrt b}{\sqrt b}&=\frac{2\sqrt b}{\sqrt{b^4}} \\ &=\frac{2\sqrt b}{b^2} \end{aligned}$
Multipliziere mit dem konjugierten Ausdruck:

$\begin{aligned} \frac2{\sqrt3+\sqrt5}\cdot\frac{\sqrt3-\sqrt5}{\sqrt3-\sqrt5} &=\frac{2(\sqrt3-\sqrt5)}{3-5} \\ &=\sqrt5-\sqrt3 \end{aligned}$
Der konjugierte Ausdruck des Nenners ist $\sqrt m-n$ :

$\begin{aligned} \frac m{\sqrt m+n}\cdot\frac{\sqrt m-n}{\sqrt m-n}&=\frac{m(\sqrt m-n)}{m-n^2} \\ &=\frac{m\sqrt m-mn}{m-n^2} \end{aligned}$

Die endgültige Form prüfen

Der Nenner darf keine Wurzel enthalten.
Jeder $Multiplikationsfaktor muss eins$ ergeben und unter den angegebenen Bedingungen definiert sein.
Das Ziel ist eine gleichwertige exakte Form. Durch Rationalisieren wird eine Dezimalnäherung nicht automatisch genauer.

Diese Prüfungen zeigen, warum jeder Schritt gültig ist und wann das Verfahren angewendet werden kann.