Wurzelform

Zusammenhang zwischen Potenzen und Wurzeln

$Gebrochene Exponenten und Wurzeln$ beschreiben dieselbe Operation. Das folgende Zerfallsmodell zeigt mit einer halben Stunde, warum ein Exponent von einem Halb einer Quadratwurzel entspricht.

Nehmen wir an, $f(x)$ beschreibt die im Körper verbleibende Menge eines Medikaments $x$ Stunden nach der Einnahme. Die Anfangsmenge beträgt $50$ Einheiten und halbiert sich in jeder Stunde:

f(x)=50(0{,}5)^x

Dreißig Minuten sind eine halbe Stunde. Deshalb lautet die richtige Eingabe:

x=\frac{30}{60}=\frac12

Nach dreißig Minuten verbleibt somit folgende Menge:

\begin{aligned} f\left(\frac12\right) &=50(0{,}5)^{\frac12} \\ &=50\sqrt{0{,}5} \\ &\approx35{,}36 \end{aligned}

Die Gleichheit $(0{,}5)^{\frac12}=\sqrt{0{,}5}$ verbindet die Potenzschreibweise mit der Wurzelschreibweise. Das Modell misst $x$ in Stunden. Daher bedeutet $x=30$ dreißig Stunden.

Definition der Wurzelform

Für $a>0$ , $m\in\mathbb{Z}$ und eine ganze Zahl $n\geq1$ lautet die reelle Definition:

a^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}

Damit können wir zwischen gebrochenen Exponenten und Wurzeln wechseln, ohne den Wert zu verändern. Ist $n$ ungerade, können auch negative reelle Zahlen eine reelle $n$ te Wurzel besitzen. Ist $n$ gerade, hat eine negative Zahl unter der Wurzel $keine reelle Wurzel$ .

Wurzelausdrücke vereinfachen

Vereinfache $(2\sqrt{x})(3\sqrt[3]{x})$ für $x>0$ .

Zuerst schreiben wir beide Wurzeln als Potenzen. Dann $multiplizieren wir die Koeffizienten$ und $addieren die Exponenten$ bei Faktoren mit gleicher Basis:

\begin{align} (2\sqrt{x})(3\sqrt[3]{x}) &= (2x^{\frac{1}{2}})(3x^{\frac{1}{3}}) \\ &= 2 \cdot 3 \cdot x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} \\ &= 6x^{\frac{3+2}{6}} \\ &= 6x^{\frac{5}{6}} \\ &= 6\sqrt[6]{x^5} \end{align}

Die beiden gleichwertigen vereinfachten Formen sind also $6x^{\frac56}$ und $6\sqrt[6]{x^5}$ .

Eine häufige falsche Abkürzung

Eine Wurzel lässt sich $nicht auf eine Summe verteilen$ . Im Allgemeinen gilt:

\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}

Ein einziges Gegenbeispiel genügt, um die vermeintliche Identität zu widerlegen. Setzen wir $a=4$ und $b=9$ :

\begin{aligned} \sqrt{4+9} &=\sqrt{13} \\ \sqrt4+\sqrt9 &=2+3=5 \\ \sqrt{13} &\neq5 \end{aligned}

Wähle Quadratzahlen, damit beide Ausdrücke exakte ganze Zahlen ergeben:

\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5

Da $5\neq7$ gilt, sind die beiden Ausdrücke nicht austauschbar. Die Summe bleibt unter der Wurzel, solange kein gültiger algebraischer Schritt sie verändert.