Komplexe Lösungen quadratischer Gleichungen

verlangt $x^2=-1$. Keine reelle Zahl hat ein negatives Quadrat. Deshalb besitzt diese Gleichung keine reelle Lösung. Um sie dennoch zu lösen, erweitern wir den Zahlbereich um die imaginäre Einheit $i$, die durch

definiert ist. Eine komplexe Zahl hat die Form

Die Zahl $2+5i$ ist komplex. Sie ist nicht rein imaginär, weil ihr Realteil nicht null ist. Eine Zahl wie $3i$ ist dagegen rein imaginär.

Eine negative Diskriminante

Für eine quadratische Gleichung $ax^2+bx+c=0$ mit reellen Koeffizienten lautet die Diskriminante

Ist $D<0$, hat die Gleichung keine reellen Nullstellen. Sie besitzt zwei verschiedene nichtreelle komplexe Nullstellen, die ein konjugiertes Paar bilden.

Wir beginnen weiterhin mit der Lösungsformel:

Wegen $D<0$ schreiben wir $D=-|D|$. Dann gilt

Ausführliche Beispiele

Beispiel 1: Beide Nullstellen bestimmen

Löse

Die Koeffizienten sind $a=1$, $b=4$ und $c=5$. Zuerst berechnen wir die Diskriminante:

Da $D=-4<0$ gilt, sind die Nullstellen nicht reell. Wir setzen die Werte in die Lösungsformel ein:

Damit erhalten wir

Eine Nullstelle lässt sich direkt prüfen:

Die zweite Nullstelle entsteht durch den Vorzeichenwechsel im Imaginärteil.

Beispiel 2: Nullstellen einordnen und bestimmen

Betrachten wir

Hier sind $a=2$, $b=1$ und $c=3$. Die Diskriminante beträgt

Die negative Diskriminante zeigt, dass die Gleichung zwei nichtreelle komplexe Nullstellen besitzt. Ihre exakten Werte sind

Also gilt

Was der reelle Graph zeigt

Die Gleichung aus dem ersten Beispiel lässt sich umformen zu

Für jedes reelle $x$ ist $(x+2)^2$ nichtnegativ, also gilt $f(x)\ge1$. Der Graph liegt vollständig oberhalb der $x$-Achse und hat keine reellen Schnittpunkte mit ihr. Die komplexen Nullstellen sind keine zusätzlichen Punkte in diesem reellen Graphen. Sie gehören zum erweiterten Zahlbereich.

Warum die Nullstellen konjugiert auftreten

Bei reellen Koeffizienten enthält die Lösungsformel den Ausdruck

Die beiden Vorzeichen ändern nur den Imaginärteil. So entstehen $u+vi$ und $u-vi$, die komplex konjugiert heißen. Ist eine Zahl Nullstelle eines Polynoms mit reellen Koeffizienten, dann ist auch ihre konjugierte Zahl eine Nullstelle.

Übungsaufgabe

Löse $2x^2+2x+5=0$ über den komplexen Zahlen.

Ausführliche Lösung

Wir beginnen mit der Diskriminante:

Da $D<0$ gilt, setzen wir $\sqrt{-36}=6i$ in die Lösungsformel ein:

Das konjugierte Nullstellenpaar lautet somit

Ihre Summe ist $-1=-\frac ba$ und ihr Produkt $\frac52=\frac ca$. Beides stimmt mit den Formeln von Vieta überein und bestätigt das Ergebnis.