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Die Identität zeigt genau, welche Konstante das Quadrat ergänzt. Lautet der mittlere Term , fehlt der Term .
Ein rationales Faktorenpaar ist nicht nötig, denn wir dürfen auf beiden Seiten denselben Wert addieren:
Da irrational ist, sind beide Lösungen irrational. Deshalb gibt es kein rationales Faktorenpaar.
Es gilt . Teile die gesamte Gleichung durch und setze dann und . Der Ergänzungsterm verwendet den Koeffizienten nach der Division, also statt des ursprünglichen Koeffizienten .
Zwei Rechtecke haben jeweils die Fläche . Legst du beide an ein Quadrat der Fläche , fehlt an der Ecke eine Fläche von . Diese Ecke ergänzt das Quadrat mit der Seitenlänge .
Die Zeichnung verwendet die positiven Längen und . Also gilt . Die algebraische Identität gilt auch für alle anderen reellen Werte, die keine geometrischen Längen darstellen können.
Jede Gleichung unten wird gelöst, indem die linke Seite zu einem vollständigen Quadrat ergänzt wird. Die erste hat den Leitkoeffizienten eins, die späteren Beispiele teilen zuerst durch den Koeffizienten.
Betrachten wir die Gleichung .
Schritt 1: Der Koeffizient ist bereits . Daher ist keine Division nötig.
Schritt 2: Die Konstante auf die rechte Seite bringen.
Schritt 3: Das Quadrat des halben Koeffizienten von auf beiden Seiten addieren.
Schritt 4: Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben.
Schritt 5: Die rechte Seite vereinfachen.
Schritt 6: Beide Seiten radizieren.
Schritt 7: Nach auflösen.
Die Lösungen sind und .
Löse nun durch quadratische Ergänzung. Hier ist der Leitkoeffizient nicht gleich .
Schritt 1: Alle Terme durch den Koeffizienten teilen.
Schritt 2: Die Konstante auf die rechte Seite bringen.
Schritt 3: Das Quadrat des halben Koeffizienten von auf beiden Seiten addieren.
Schritt 4: Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben.
Schritt 5: Die rechte Seite vereinfachen.
Schritt 6: Beide Seiten radizieren.
Schritt 7: Nach auflösen.
Die Lösungen sind und .
Prüfe die Normierung, das Addieren auf beiden Seiten und die Endform anhand dieser drei Beispiele.
Koeffizient von ungleich : Zuerst wird die gesamte Gleichung durch den Koeffizienten geteilt. So wird aus die Gleichung .
Ergänzungsterm: Das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von wird auf beiden Seiten addiert. Für ist das .
Endform: Die Gleichung erhält die Form . Zum Beispiel wird aus die Gleichung .
In der Form bestimmt das Vorzeichen der rechten Seite die reellen Lösungen. Ein positives liefert zwei Lösungen, null eine doppelte Lösung und ein negativer Wert keine reelle Lösung.
Ist , hat die Gleichung keine reellen Lösungen.
Konkretes Beispiel:
Die quadratische Ergänzung ergibt:
Addiere auf beiden Seiten :
Da das Quadrat einer reellen Zahl nicht sein kann, besitzt die Gleichung keine reelle Lösung.
In den komplexen Zahlen verwendest du und erhältst:
Bei Gleichungen der Form kannst du das Quadrat direkt isolieren.
Konkretes Beispiel:
Die Lösungen sind und .
Führe bei jedem Schritt dieselbe Operation auf beiden Seiten aus. Bringe den Leitkoeffizienten auf eins, quadriere die Hälfte des neuen linearen Koeffizienten und berücksichtige anschließend beide Wurzelvorzeichen.
Löse die folgenden quadratischen Gleichungen mit der quadratischen Ergänzung:
Aufgabe 1
Schritt 1: Die Konstante auf die rechte Seite bringen:
Schritt 2: Das Quadrat des halben Koeffizienten von auf beiden Seiten addieren:
Schritt 3: Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben:
Schritt 4: Die rechte Seite vereinfachen:
Schritt 5: Beide Seiten radizieren:
Schritt 6: Nach auflösen:
Die Lösungen sind und .
Aufgabe 2
Schritt 1: Alle Terme durch den Koeffizienten teilen:
Schritt 2: Die Konstante auf die rechte Seite bringen:
Schritt 3: Das Quadrat des halben Koeffizienten von auf beiden Seiten addieren:
Schritt 4: Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben:
Schritt 5: Die rechte Seite vereinfachen:
Schritt 6: Beide Seiten radizieren:
Schritt 7: Nach auflösen:
Die Lösungen sind und .
Aufgabe 3
Schritt 1: Alle Terme durch den Koeffizienten teilen:
Schritt 2: Die Konstante auf die rechte Seite bringen:
Schritt 3: Das Quadrat des halben Koeffizienten von auf beiden Seiten addieren:
Schritt 4: Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben:
Schritt 5: Die rechte Seite vereinfachen:
Schritt 6: Beide Seiten radizieren:
Schritt 7: Nach auflösen:
Die Gleichung hat die doppelte Lösung .
Aufgabe 4
Schritt 1: Die Konstante auf die rechte Seite bringen:
Schritt 2: Das Quadrat des halben Koeffizienten von auf beiden Seiten addieren:
Die Hälfte des Koeffizienten von ist .
Schritt 3: Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben:
Schritt 4: Beide Seiten radizieren:
Schritt 5: Nach auflösen:
Die Lösungen sind und .
Aufgabe 5
Schritt 1: Alle Terme durch den Koeffizienten teilen:
Schritt 2: Die Konstante auf die rechte Seite bringen:
Schritt 3: Das Quadrat des halben Koeffizienten von auf beiden Seiten addieren:
Die Hälfte des Koeffizienten von ist .
Schritt 4: Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben:
Schritt 5: Die rechte Seite vereinfachen:
Schritt 6: Beide Seiten radizieren:
Schritt 7: Nach auflösen:
Die Lösungen sind und .
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