Lösungsformel für quadratische Gleichungen

Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen

Eine quadratische Gleichung hat die Form $ax^2 + bx + c = 0$ mit . Dabei gilt:

Lösungsformel für quadratische Gleichungen

Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen

Eine quadratische Gleichung hat die Form $ax^2 + bx + c = 0$ mit . Dabei gilt:

a \neq 0

$a$ ist der Koeffizient von $x^2$ .
$b$ ist der Koeffizient von $x$ .
$c$ ist der konstante Term.

Die Lösungen von $ax^2 + bx + c = 0$ lassen sich mit folgender Formel bestimmen:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Über den komplexen Zahlen liefern die beiden Vorzeichen die zwei Lösungen mit ihrer jeweiligen Vielfachheit. Ist die Diskriminante null, ergeben beide Ausdrücke dieselbe doppelte Lösung:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ mit dem Pluszeichen
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ mit dem Minuszeichen

Der Ausdruck $b^2 - 4ac$ ist die Diskriminante. Sein Vorzeichen bestimmt die Art der Lösungen:

Für $b^2 - 4ac > 0$ gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen.
Für $b^2 - 4ac = 0$ gibt es eine doppelte reelle Lösung.
Für $b^2 - 4ac < 0$ gibt es keine reellen Lösungen, aber zwei nichtreelle komplex konjugierte Lösungen.

Herleitung der Lösungsformel

Die Lösungsformel ergibt sich direkt durch quadratische Ergänzung.

Ausgangspunkt ist die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung:

ax^2 + bx + c = 0

Schritt $1$ : Alle Terme durch $a$ , den Koeffizienten von $x^2$ , teilen:

x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0

Schritt $2$ : Den konstanten Term auf die rechte Seite bringen:

x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}

Schritt $3$ : Auf beiden Seiten das Quadrat des halben Koeffizienten von $x$ addieren:

x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}

Schritt $4$ : Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben:

\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}

Schritt $5$ : Die rechte Seite zusammenfassen:

\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}

Schritt $6$ : Auf beiden Seiten die Quadratwurzel ziehen:

x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Schritt $7$ : Auflösen nach $x$ :

x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Damit ist die Lösungsformel hergeleitet:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Die Lösungsformel anwenden

Eine quadratische Gleichung lässt sich in vier Schritten lösen:

Die Gleichung in die allgemeine Form $ax^2 + bx + c = 0$ bringen.
Die Werte von $a$ , $b$ und $c$ ablesen.
Diese Werte in $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ einsetzen.
Beide Werte von $x$ berechnen.

Beispiele

Beispiel $1$ : Löse $x^2 + 5x + 6 = 0$ .

Die Koeffizienten sind $a = 1$ , $b = 5$ und $c = 6$ .

In die Formel eingesetzt:

x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{-5 \pm 1}{2}

Für $x_1$ wird das Pluszeichen gewählt:

x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2

Für $x_2$ wird das Minuszeichen gewählt:

x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3

Die Lösungen sind $x_1 = -2$ und $x_2 = -3$ .

Beispiel $2$ : Löse $2x^2 - 7x + 3 = 0$ .

Die Koeffizienten sind $a = 2$ , $b = -7$ und $c = 3$ .

In die Formel eingesetzt:

x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{7 \pm 5}{4}

Für $x_1$ wird das Pluszeichen gewählt:

x_1 = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3

Für $x_2$ wird das Minuszeichen gewählt:

x_2 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Die Lösungen sind $x_1 = 3$ und $x_2 = \frac{1}{2}$ .

Die Diskriminante

Der Ausdruck $b^2 - 4ac$ in der Lösungsformel heißt Diskriminante und wird meist mit $D$ oder $\Delta$ bezeichnet.

Die Diskriminante zeigt, welche Art von Lösungen eine quadratische Gleichung besitzt:

Für $D > 0$ hat die Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen.
Für $D = 0$ hat die Gleichung eine doppelte reelle Lösung.
Für $D < 0$ hat die Gleichung keine reellen Lösungen, sondern zwei komplexe Lösungen.

Zusammenhang zwischen Lösungen und Koeffizienten

Sind $x_1$ und $x_2$ die Lösungen von $ax^2 + bx + c = 0$ , gelten die Formeln von Vieta:

Summe der Lösungen: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
Produkt der Lösungen: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Herleitung der Zusammenhänge

Aus der Lösungsformel folgt:

x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \quad \text{und} \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Die Lösungen addieren:

x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}

Die Lösungen multiplizieren:

x_1 \cdot x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \cdot \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{b^2 - (\sqrt{b^2 - 4ac})^2}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}

Eine Gleichung aus bekannten Lösungen bilden

Sind $p$ und $q$ als Lösungen bekannt, lautet eine normierte quadratische Gleichung mit diesen Lösungen:

(x - p)(x - q) = 0

Oder in Standardform:

x^2 - (p+q)x + pq = 0

Weiterführende Beispiele

Die quadratische Gleichung $x^2 + 4x + 3 = 0$ hat die Lösungen $p$ und $q$ .

Bestimme eine quadratische Gleichung mit den Lösungen $2p$ und $2q$ .

Schritt $1$ : Die Werte von $p + q$ und $p \cdot q$ bestimmen
$p + q = -\frac{b}{a} = -\frac{4}{1} = -4$
Schritt $2$ : Summe und Produkt der neuen Lösungen berechnen
$2p + 2q = 2(p + q) = 2(-4) = -8$
Schritt $3$ : Die neue quadratische Gleichung aufstellen
$x^2 - (-8)x + 12 = 0$
Die quadratische Gleichung $x^2 + 4x - 21 = 0$ hat die Lösungen $p$ und $q$ .

Bestimme eine quadratische Gleichung mit den Lösungen und .

Übungsaufgaben

Löse die folgenden quadratischen Gleichungen mit der Lösungsformel:

$x^2 + 5x + 6 = 0$
$2x^2 + 6x + 3 = 0$
$6x^2 + 2x + \frac{1}{6} = 0$
$\frac{1}{2}x^2 + 4x + 6 = 0$
$\frac{2}{3}x^2 + 2x - 12 = 0$

Ausführliche Lösungen

Lösung der quadratischen Gleichung $x^2 + 5x + 6 = 0$

Koeffizienten: $a = 1$ , $b = 5$ , $c = 6$
$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$
Für $x_1$ das Pluszeichen einsetzen:

$x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Für $x_2$ das Minuszeichen einsetzen:

$x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Damit lauten die Lösungen $x_1 = -2$ und $x_2 = -3$ .
Lösung der quadratischen Gleichung $2x^2 + 6x + 3 = 0$

Koeffizienten: $a = 2$ , $b = 6$ ,
Lösung der quadratischen Gleichung $6x^2 + 2x + \frac{1}{6} = 0$

Koeffizienten: $a = 6$ , ,
Lösung der quadratischen Gleichung $\frac{1}{2}x^2 + 4x + 6 = 0$

Koeffizienten: $a = \frac{1}{2}$ , ,
Lösung der quadratischen Gleichung $\frac{2}{3}x^2 + 2x - 12 = 0$

Koeffizienten: $a = \frac{2}{3}$ , ,

p \cdot q = \frac{c}{a} = \frac{3}{1} = 3

2p \cdot 2q = 4(p \cdot q) = 4 \cdot 3 = 12

\frac{1}{2p}

\frac{1}{2q}

Schritt $1$ : Die Werte von $p + q$ und $p \cdot q$ bestimmen

p + q = -\frac{b}{a} = -\frac{4}{1} = -4

Schritt $2$ : Summe und Produkt der neuen Lösungen berechnen

\frac{1}{2p} + \frac{1}{2q} = \frac{1}{2} \left(\frac{q + p}{pq}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{-4}{-21} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{21} = \frac{4}{42} = \frac{2}{21}

Schritt $3$ : Die neue quadratische Gleichung aufstellen

x^2 - \frac{2}{21}x - \frac{1}{84} = 0

= \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}

= \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2}

= \frac{-5 \pm 1}{2}

c = 3

x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}

Für $x_1$ das Pluszeichen einsetzen:

x_1 = \frac{-3 + \sqrt{3}}{2}

Für $x_2$ das Minuszeichen einsetzen:

x_2 = \frac{-3 - \sqrt{3}}{2}

Die Lösungen sind $x_1 = \frac{-3 + \sqrt{3}}{2}$ und $x_2 = \frac{-3 - \sqrt{3}}{2}$ .

b = 2

c = \frac{1}{6}

x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{6}}}{2 \cdot 6}

Da die Diskriminante $b^2 - 4ac = 0$ beträgt, hat die Gleichung eine doppelte reelle Lösung.

Die doppelte Lösung ist $x_1 = x_2 = -\frac{1}{6}$ .

b = 4

c = 6

x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6}}{2 \cdot \frac{1}{2}}

Für $x_1$ das Pluszeichen einsetzen:

x_1 = -4 + 2 = -2

Für $x_2$ das Minuszeichen einsetzen:

x_2 = -4 - 2 = -6

Die Lösungen sind $x_1 = -2$ und $x_2 = -6$ .

b = 2

c = -12

x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot \frac{2}{3} \cdot (-12)}}{2 \cdot \frac{2}{3}}

Für $x_1$ das Pluszeichen einsetzen:

x_1 = \frac{3(-2 + 6)}{4} = \frac{3 \cdot 4}{4} = 3

Für $x_2$ das Minuszeichen einsetzen:

x_2 = \frac{3(-2 - 6)}{4} = \frac{3 \cdot (-8)}{4} = -6

Die Lösungen sind $x_1 = 3$ und $x_2 = -6$ .