Lösungsformel für quadratische Gleichungen

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b

c

Eine quadratische Gleichung hat die Form $ax^2 + bx + c = 0$ mit $a \neq 0$ . Dabei gilt:

$a$ ist der Koeffizient von $x^2$ .
$b$ ist der Koeffizient von $x$ .
$c$ ist der konstante Term.

Die Lösungen von $ax^2 + bx + c = 0$ lassen sich mit folgender Formel bestimmen:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Über den reellen Zahlen allein hat eine Gleichung mit negativer Diskriminante keine Lösung. Über den komplexen Zahlen liefern die beiden Vorzeichen dagegen zwei Lösungen. Ist die Diskriminante null, ergeben beide Ausdrücke unten dieselbe doppelte Lösung, und wir zählen diese doppelte Lösung zweimal:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ mit dem Pluszeichen
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ mit dem Minuszeichen

Der Ausdruck $b^2 - 4ac$ ist die $Diskriminante$ . Sein Vorzeichen bestimmt die Art der Lösungen:

Für $b^2 - 4ac > 0$ gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen.
Für $b^2 - 4ac = 0$ gibt es eine doppelte reelle Lösung.
Für $b^2 - 4ac < 0$ gibt es keine reellen Lösungen, aber zwei nichtreelle komplex konjugierte Lösungen.

Herleitung der Lösungsformel

Zur Herleitung der Lösungsformel ergänzen wir das Quadrat in der allgemeinen Form:

ax^2 + bx + c = 0

$Schritt 1$ : Alle Terme durch $a$ , den Koeffizienten von $x^2$ , teilen:

x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0

$Schritt 2$ : Den konstanten Term auf die rechte Seite bringen:

x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}

$Schritt 3$ : Auf beiden Seiten das Quadrat des halben Koeffizienten von $x$ addieren:

x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}

$Schritt 4$ : Die linke Seite als binomisches Quadrat schreiben:

\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}

$Schritt 5$ : Die rechte Seite zusammenfassen:

\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}

$Schritt 6$ : Auf beiden Seiten die Quadratwurzel ziehen:

x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Bei nichtnegativer Diskriminante gilt $\sqrt{4a^2}=2|a|$ . Weil wir $beide Wurzelvorzeichen$ verwenden, vertauscht der Wechsel von $2|a|$ zu $2a$ bei $a<0$ lediglich die beiden Lösungen. Eine negative Diskriminante behandeln wir in den komplexen Zahlen.

$Schritt 7$ : Auflösen nach $x$ :

\begin{aligned} x &= -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{aligned}

Damit ist die Lösungsformel hergeleitet:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Gleichungen mit der Lösungsformel lösen

$Beispiel 1$ : Löse $x^2 + 5x + 6 = 0$ .

Die Koeffizienten sind $a = 1$ , $b = 5$ und $c = 6$ .

In die Formel eingesetzt:

\begin{aligned} x &= \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} \\ &= \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} \\ &= \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2} \\ &= \frac{-5 \pm 1}{2} \end{aligned}

Für $x_1$ wird das $Pluszeichen$ gewählt:

x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2

Für $x_2$ wird das $Minuszeichen$ gewählt:

x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3

Die Lösungen sind $x_1 = -2$ und $x_2 = -3$ .

$Beispiel 2$ : Löse $2x^2 - 7x + 3 = 0$ .

Die Koeffizienten sind $a = 2$ , $b = -7$ und $c = 3$ .

In die Formel eingesetzt:

\begin{aligned}x &= \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} \\ &= \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4} \\ &= \frac{7 \pm \sqrt{25}}{4} \\ &= \frac{7 \pm 5}{4}\end{aligned}

Für $x_1$ wird das $Pluszeichen$ gewählt:

x_1 = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3

Für $x_2$ wird das $Minuszeichen$ gewählt:

x_2 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Die Lösungen sind $x_1 = 3$ und $x_2 = \frac{1}{2}$ .

Die Diskriminante

Der Wert von $D$ bestimmt die $Anzahl der Schnittpunkte mit der waagerechten Achse$ . In den drei Gleichungen verändert sich nur die Konstante. Eine größere Konstante verschiebt den Scheitelpunkt nach oben.

Gleichung	Diskriminante	Reelle Lösungen
$x^2+5x+6=0$	$25-24=1$	$-3,-2$
$x^2+5x+6.25=0$	$25-25=0$
$x^2+5x+7=0$	$25-28=-3$

Bei der ersten Gleichung liefert die Formel $-3$ und $-2$ . Im Graphen sind das die waagerechten Koordinaten, bei denen der Funktionswert null ist. Der Scheitelpunkt liegt unterhalb der waagerechten Achse.

Zwei Lösungen als Achsenschnittpunkte

Die Parabel x² + 5x + 6 schneidet die waagerechte Achse bei -3 und -2. Ihr Scheitelpunkt hat x = -2,5 und y = -0,25.

Zusammenhang zwischen Lösungen und Koeffizienten

Die $Summe und das Produkt$ der beiden Lösungen lassen sich direkt aus den Koeffizienten ablesen, ohne die Gleichung vorher zu lösen. Damit kannst du ein Ergebnis prüfen oder eine fehlende Größe bestimmen.

Sind $x_1$ und $x_2$ die Lösungen von $ax^2 + bx + c = 0$ , gelten die Formeln von Vieta:

Summe der Lösungen: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
Produkt der Lösungen: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Herleitung der Zusammenhänge

Aus der Lösungsformel folgt:

\begin{aligned} &x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ &\text{und} \\ &x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \end{aligned}

Beim Addieren $heben sich die Wurzelterme auf$ :

\begin{aligned} x_1+x_2 &= \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ &\quad+ \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ &= \frac{-2b}{2a} \\ &= -\frac{b}{a} \end{aligned}

Die Lösungen multiplizieren:

\begin{aligned} x_1x_2 &= \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ &\quad{}\cdot \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ &= \frac{b^2 - (\sqrt{b^2 - 4ac})^2}{4a^2} \\ &= \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} \\ &= \frac{4ac}{4a^2} \\ &= \frac{c}{a} \end{aligned}

Eine Gleichung aus bekannten Lösungen bilden

Sind $p$ und $q$ als $Lösungen bekannt$ , lautet eine normierte quadratische Gleichung mit diesen Lösungen:

(x - p)(x - q) = 0

Oder in Standardform:

x^2 - (p+q)x + pq = 0

Gleichungen aus veränderten Lösungen bilden

$Aufgabe 1$

Die quadratische Gleichung $x^2 + 4x + 3 = 0$ hat die Lösungen $p$ und $q$ .

Bestimme eine quadratische Gleichung mit den Lösungen $2p$ und $2q$ .

$Schritt 1$ : Die Werte von $p + q$ und $p \cdot q$ bestimmen

p + q = -\frac{b}{a} = -\frac{4}{1} = -4

$Schritt 2$ : Summe und Produkt der neuen Lösungen berechnen

2p + 2q = 2(p + q) = 2(-4) = -8

$Schritt 3$ : Die neue quadratische Gleichung aufstellen

x^2 - (-8)x + 12 = 0

$Aufgabe 2$

Die quadratische Gleichung $x^2 + 4x - 21 = 0$ hat die Lösungen $p$ und $q$ .

Bestimme eine quadratische Gleichung mit den Lösungen $\frac{1}{2p}$ und $\frac{1}{2q}$ .

$Schritt 1$ : Die Werte von $p + q$ und $p \cdot q$ bestimmen

p + q = -\frac{b}{a} = -\frac{4}{1} = -4

Das Produkt $pq=-21$ ist ungleich null. Daher sind $beide Lösungen ungleich null$ , und die folgenden Kehrwerte sind definiert.

$Schritt 2$ : Summe und Produkt der neuen Lösungen berechnen

\begin{aligned} \frac{1}{2p} + \frac{1}{2q} &= \frac{1}{2} \left(\frac{q + p}{pq}\right) \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{-4}{-21} \\ &= \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{21} \\ &= \frac{4}{42} \\ &= \frac{2}{21} \end{aligned}

$Schritt 3$ : Die neue quadratische Gleichung aufstellen

x^2 - \frac{2}{21}x - \frac{1}{84} = 0

Übungsaufgaben

Jede Gleichung steht bereits in der Normalform, deshalb liest du zuerst die $Koeffizienten mit ihren Vorzeichen$ ab und setzt sie dann in die Formel ein. Prüfe den Ausdruck unter der Wurzel, um zu sehen, wie viele reelle Lösungen zu erwarten sind.

Löse die folgenden quadratischen Gleichungen mit der Lösungsformel:

$x^2 + 5x + 6 = 0$
$2x^2 + 6x + 3 = 0$
$6x^2 + 2x + \frac{1}{6} = 0$
$\frac{1}{2}x^2 + 4x + 6 = 0$
$\frac{2}{3}x^2 + 2x - 12 = 0$

Ausführliche Lösungen

$Aufgabe 1$

Lösung der quadratischen Gleichung $x^2 + 5x + 6 = 0$

Koeffizienten: $a = 1$ , $b = 5$ , $c = 6$

\begin{aligned} x_{1,2} &= \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} \\ &= \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} \\ &= \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2} \\ &= \frac{-5 \pm 1}{2} \end{aligned}

Für $x_1$ das $Pluszeichen$ einsetzen:

x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2

Für $x_2$ das $Minuszeichen$ einsetzen:

x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3

Damit lauten die Lösungen $x_1 = -2$ und $x_2 = -3$ .

$Aufgabe 2$

Lösung der quadratischen Gleichung $2x^2 + 6x + 3 = 0$

Koeffizienten: $a = 2$ , $b = 6$ , $c = 3$

\begin{aligned} x_{1,2} &= \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} \\ &= \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 24}}{4} \\ &= \frac{-6 \pm \sqrt{12}}{4} \\ &= \frac{-6 \pm 2\sqrt{3}}{4} \\ &= \frac{-3 \pm \sqrt{3}}{2} \end{aligned}

Für $x_1$ das $Pluszeichen$ einsetzen:

x_1 = \frac{-3 + \sqrt{3}}{2}

Für $x_2$ das $Minuszeichen$ einsetzen:

x_2 = \frac{-3 - \sqrt{3}}{2}

Die Lösungen sind $x_1 = \frac{-3 + \sqrt{3}}{2}$ und $x_2 = \frac{-3 - \sqrt{3}}{2}$ .

$Aufgabe 3$

Lösung der quadratischen Gleichung $6x^2 + 2x + \frac{1}{6} = 0$

Koeffizienten: $a = 6$ , $b = 2$ , $c = \frac{1}{6}$

\begin{aligned} x_{1,2} &= \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{6}}}{2 \cdot 6} \\ &= \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4}}{12} \\ &= \frac{-2 \pm 0}{12} \\ &= \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6} \end{aligned}

Da die Diskriminante $b^2 - 4ac = 0$ beträgt, hat die Gleichung eine $doppelte reelle Lösung$ .

Die doppelte Lösung ist $x_1 = x_2 = -\frac{1}{6}$ .

$Aufgabe 4$

Lösung der quadratischen Gleichung $\frac{1}{2}x^2 + 4x + 6 = 0$

Koeffizienten: $a = \frac{1}{2}$ , $b = 4$ , $c = 6$

\begin{aligned} x_{1,2} &= \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6}}{2 \cdot \frac{1}{2}} \\ &= \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{1} \\ &= \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{1} \\ &= -4 \pm 2 \end{aligned}

Für $x_1$ das $Pluszeichen$ einsetzen:

x_1 = -4 + 2 = -2

Für $x_2$ das $Minuszeichen$ einsetzen:

x_2 = -4 - 2 = -6

Die Lösungen sind $x_1 = -2$ und $x_2 = -6$ .

$Aufgabe 5$

Lösung der quadratischen Gleichung $\frac{2}{3}x^2 + 2x - 12 = 0$

Koeffizienten: $a = \frac{2}{3}$ , $b = 2$ , $c = -12$

\begin{aligned} x_{1,2} &= \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot \frac{2}{3} \cdot (-12)}}{2 \cdot \frac{2}{3}} \\ &= \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{4/3} \\ &= \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{4/3} \\ &= \frac{-2 \pm 6}{4/3} \\ &= \frac{3(-2 \pm 6)}{4} \end{aligned}

Für $x_1$ das $Pluszeichen$ einsetzen:

x_1 = \frac{3(-2 + 6)}{4} = \frac{3 \cdot 4}{4} = 3

Für $x_2$ das $Minuszeichen$ einsetzen:

x_2 = \frac{3(-2 - 6)}{4} = \frac{3 \cdot (-8)}{4} = -6

Die Lösungen sind $x_1 = 3$ und $x_2 = -6$ .

Lösungsformel für quadratische Gleichungen

Lösungen aus den Koeffizienten berechnen

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Herleitung der Lösungsformel

Gleichungen mit der Lösungsformel lösen

Die Diskriminante

Zusammenhang zwischen Lösungen und Koeffizienten

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