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Manche Optimierungsaufgaben fragen nach dem kleinstmöglichen Wert. Ein Unternehmen möchte vielleicht die niedrigsten Kosten erreichen, oder eine Konstruktion soll unter einer festen geometrischen Bedingung eine möglichst kleine Gesamtfläche haben. Das Ziel ändert sich, der Weg zum Modell bleibt gleich: Wir übersetzen die Nebenbedingung, stellen eine Funktion mit einer Variablen auf und deuten ihren Scheitel.
Ein Minimum zu suchen bedeutet nicht, automatisch den Wert null zu wählen. Die ursprüngliche Aufgabe legt fest, welche Werte zulässig sind. Das Minimum muss in diesem Bereich liegen.
Eine quadratische Funktion hat die Form
Für öffnet sich ihr Graph nach oben. Der Scheitel ist dann der tiefste Punkt des Graphen. Liegt er im zulässigen Bereich, ist sein Funktionswert das Minimum.
Für gilt
Gleichwertig dazu ist die Darstellung über die Diskriminante:
Nach der Rechnung kehren wir immer zur Aufgabe zurück. Wir prüfen den zulässigen Bereich, die Einheiten und die Frage, ob die Variable ganzzahlig sein muss.
Ein langer Draht wird in zwei Stücke geteilt. Aus jedem Stück wird ein Quadrat gebogen. Wo muss der Draht geteilt werden, damit die Summe der beiden Quadratflächen möglichst klein ist?
Benenne die Seitenlängen. Das erste Quadrat habe die Seitenlänge , das zweite die Seitenlänge .
Übersetze die Bedingung für die Drahtlänge.
Stelle die Funktion für die Gesamtfläche auf.
Gib den zulässigen Bereich an. Beide Quadrate brauchen positive Seitenlängen, also gilt . Wegen öffnet sich der Graph nach oben.
Bestimme den Scheitel.
Berechne die zweite Seitenlänge und die Gesamtfläche.
Deute die Teilung. Jedes Quadrat benötigt einen Umfang von . Der Draht wird also in zwei Stücke von je geteilt. Die gesamten werden weiterhin verwendet. Nur die Summe der eingeschlossenen Flächen wird minimiert.
Die minimale Gesamtfläche beträgt . Sie entsteht, wenn beide Quadrate die Seitenlänge haben.
| Teil der Aufgabe | Mathematische Aussage | Bedeutung |
|---|---|---|
| Feste Drahtlänge | Die Umfänge beider Quadrate nutzen die gesamten Draht. | |
| Modell mit einer Variablen | Jede zulässige erste Seitenlänge bestimmt genau eine Gesamtfläche. | |
| Zulässiger Bereich | Beide Quadrate behalten positive Seitenlängen. | |
| Scheitel | Gleiche Seitenlängen erzeugen die kleinste Gesamtfläche. |
Die Kosten für die Herstellung von Artikeln werde in Tausend Rupiah durch folgende Funktion beschrieben:
Wegen besitzt das Modell ein Minimum:
Das Modell sagt minimale Kosten von bei Artikeln voraus. Bei einer realen Produktionsentscheidung müsste zusätzlich geprüft werden, ob der angegebene Definitionsbereich und die betrieblichen Bedingungen diese Stückzahl zulassen.
Die Summe zweier positiver Zahlen ist . Bestimme die beiden Zahlen, für die die Summe ihrer Quadrate minimal wird, und berechne diese minimale Summe.
Die erste Zahl sei , die zweite .
Übersetze die Bedingung für die Summe.
Stelle die Zielfunktion auf.
Der zulässige Bereich ist . Außerdem gilt , sodass der Scheitel das Minimum liefert.
Berechne die erste Zahl am Scheitel.
Berechne die zweite Zahl und den Wert der Zielfunktion.
Die beiden Zahlen sind und . Die minimale Summe ihrer Quadrate beträgt .
