Eine minimale Fläche bestimmen

Den kleinsten zulässigen Wert im Modell suchen

Manche Optimierungsaufgaben fragen nach dem kleinstmöglichen Wert. Ein Unternehmen möchte vielleicht die niedrigsten Kosten erreichen, oder eine Konstruktion soll unter einer festen geometrischen Bedingung eine möglichst kleine Gesamtfläche haben. Das Ziel ändert sich, der Weg zum Modell bleibt gleich: Wir übersetzen die Nebenbedingung, stellen eine Funktion mit einer Variablen auf und deuten ihren Scheitel.

Ein Minimum zu suchen bedeutet nicht, automatisch den Wert null zu wählen. Die ursprüngliche Aufgabe legt fest, welche Werte zulässig sind. Der Eingabewert am Minimum muss in diesem Bereich liegen.

Warum eine nach oben geöffnete Parabel ein Minimum besitzt

Eine quadratische Funktion hat die Form

Für $a>0$ öffnet sich ihr Graph nach oben. Der Scheitel ist dann der tiefste Punkt des Graphen. Liegt er im zulässigen Bereich, ist sein Funktionswert das Minimum.

Den Scheitel bestimmen

Für $f(x)=ax^2+bx+c$ gilt

Gleichwertig dazu ist die Darstellung über die Diskriminante:

Nach der Rechnung kehren wir immer zur Aufgabe zurück. Wir prüfen den zulässigen Bereich, die Einheiten und die Frage, ob die Variable ganzzahlig sein muss.

Flächenminimum bei einem Draht und zwei Quadraten

Ein $40\text{ cm}$ langer Draht wird in zwei Stücke geteilt. Aus jedem Stück wird ein Quadrat gebogen. Wo muss der Draht geteilt werden, damit die Summe der beiden Quadratflächen möglichst klein ist?

Schritt 1: Benenne die Seitenlängen. Das erste Quadrat habe die Seitenlänge $x\text{ cm}$, das zweite die Seitenlänge $y\text{ cm}$. Schritt 2: Übersetze die Bedingung für die Drahtlänge.

Schritt 3: Stelle die Funktion für die Gesamtfläche auf.

Schritt 4: Gib den zulässigen Bereich an. Beide Quadrate brauchen positive Seitenlängen, also gilt $0<x<10$. Wegen $a=2>0$ öffnet sich der Graph nach oben. Schritt 5: Bestimme den Scheitel.

Schritt 6: Berechne die zweite Seitenlänge und die Gesamtfläche.

Schritt 7: Deute die Teilung. Jedes Quadrat benötigt einen Umfang von $4(5)=20\text{ cm}$. Der Draht wird also in zwei Stücke von je $20\text{ cm}$ geteilt. Die gesamten $40\text{ cm}$ werden weiterhin verwendet. Nur die Summe der eingeschlossenen Flächen wird minimiert.

Die quadratische Ergänzung begründet das Minimum. Der quadrierte Term kann nicht negativ sein und wird genau bei Seitenlänge fünf null:

Die Endpunkte zeigen nur Grenzfälle. Null und zehn gehören nicht zu den zulässigen Werten für Figuren mit positiven Seiten.

Die minimale Gesamtfläche beträgt $50\text{ cm}^2$. Sie entsteht, wenn beide Quadrate die Seitenlänge $5\text{ cm}$ haben.

Nebenbedingung Modell Definitionsbereich und Scheitel

Die Tabelle sammelt die drei Teile, die aus dem Drahtproblem eine einzige Variable machen. Jede Zeile nennt einen Teil des Problems neben seiner mathematischen Form.

Eine weitere Anwendung mit Produktionskosten

Die Kosten für die Herstellung von $x$ Artikeln werde in Tausend Rupiah durch folgende Funktion beschrieben:

Wegen $a=3>0$ besitzt das Modell ein Minimum:

Das Modell sagt minimale Kosten von $\text{IDR }200\,000$ bei $10$ Artikeln voraus. Bei einer realen Produktionsentscheidung müsste zusätzlich geprüft werden, ob der angegebene Definitionsbereich und die betrieblichen Bedingungen diese Stückzahl zulassen.

Übungsaufgabe

Die Summe ist vorgegeben. Mit der ersten Zahl steht daher auch die zweite fest. Gesucht ist die kleinste Summe ihrer Quadrate, nicht die kleinste Summe der Zahlen selbst. Nutze den Zusammenhang für eine Zielfunktion mit einer Variablen.

Die Summe zweier positiver Zahlen ist $16$. Bestimme die beiden Zahlen, für die die Summe ihrer Quadrate minimal wird, und berechne diese minimale Summe.

Ausführliche Lösung

1. Die erste Zahl sei $x$, die zweite $y$.

2. Übersetze die Bedingung für die Summe.

   $$x+y=16$$

   $$y=16-x$$

3. Stelle die Zielfunktion auf.

   $$S=x^2+y^2$$

   $$S(x)=x^2+(16-x)^2$$

   $$S(x)=x^2+(256-32x+x^2)$$

   $$S(x)=2x^2-32x+256$$

4. Der zulässige Bereich ist $0<x<16$. Außerdem gilt $a=2>0$, sodass der Scheitel das Minimum liefert.

5. Berechne die erste Zahl am Scheitel.

   $$x_v=-\frac{-32}{2(2)}=\frac{32}{4}=8$$

6. Berechne die zweite Zahl und den Wert der Zielfunktion.

   $$y=16-x=16-8=8$$

   $$S(8)=8^2+8^2=128$$

Die beiden Zahlen sind $8$ und $8$. Die minimale Summe ihrer Quadrate beträgt $128$.