Eine maximale Fläche bestimmen

Rechtecke bei vorgegebener Zaunlänge vergleichen

Bei einer Optimierungsaufgabe suchen wir $den besten zulässigen Wert$ . Aus einem Zaun fester Länge lassen sich zum Beispiel viele Rechtecke bilden. Ihre Flächen sind jedoch unterschiedlich groß. Mit einer quadratischen Funktion können wir alle zulässigen Rechtecke in einem Modell vergleichen.

Drücke eine Seitenlänge durch die andere aus, setze diese Beziehung in die Flächenformel ein und deute anschließend den Scheitel der entstehenden Parabel. Dieses Verfahren gilt für alle rechteckigen Zaunaufgaben mit derselben Art von Nebenbedingung.

Warum eine nach unten geöffnete Parabel ein Maximum besitzt

Eine quadratische Funktion hat die Form

f(x)=ax^2+bx+c,\qquad a\neq0

Für $a<0$ öffnet sich ihr Graph nach unten. Der Scheitel ist dann der höchste Punkt des Graphen. $Liegt er im zulässigen Bereich der Aufgabe$ , ist sein Funktionswert das Maximum.

Den Scheitel bestimmen

Für $f(x)=ax^2+bx+c$ berechnen wir die Scheitelkoordinaten mit

x_v=-\frac{b}{2a}

Gleichwertig dazu ist die Darstellung über die $Diskriminante$ :

\Delta=b^2-4ac

Die Rechnung liefert den Scheitel. Ob er in der Aufgabe tatsächlich zulässig ist, entscheidet der Sachzusammenhang. Längen dürfen nicht negativ sein, Stückzahlen müssen unter Umständen ganzzahlig sein und Zeitwerte müssen im beschriebenen Intervall liegen.

Flächenmaximum eines rechteckigen Hühnergeheges

Ein Landwirt hat $20\text{ m}$ Zaunmaterial und möchte damit ein rechteckiges Hühnergehege einzäunen. Welche Seitenlängen ergeben die größtmögliche Fläche?

$Schritt 1$ : Benenne die Seitenlängen. Die Länge sei $p\text{ m}$ , die Breite $l\text{ m}$ . $Schritt 2$ : Übersetze die Umfangsbedingung.

2p+2l=20

$Schritt 3$ : Stelle eine Flächenfunktion mit nur einer Variablen auf.

A=p\cdot l

$Schritt 4$ : Gib den zulässigen Bereich an. Beide Seitenlängen müssen positiv sein, also gilt $0<l<10$ . Der Koeffizient $a=-1$ ist negativ. Der Flächengraph öffnet sich deshalb nach unten. $Schritt 5$ : Bestimme den Scheitel.

l_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2(-1)}=\frac{-10}{-2}=5

$Schritt 6$ : Berechne die andere Seitenlänge und die Fläche.

p=10-l=10-5=5

$Schritt 7$ : Prüfe, ob der Scheitel die größte Fläche liefert. Der Scheitel liegt im Bereich $0<l<10$ . An den Randwerten fällt das Rechteck zusammen und die Fläche nähert sich $0$ . Damit liefert der innere Scheitel das globale Maximum.

Die quadratische Ergänzung begründet das Maximum. Von 25 wird ein $nichtnegatives Quadrat$ abgezogen. Genau bei Breite fünf ist dieser Abzug null:

A(l)=25-(l-5)^2\le25

Fläche in Abhängigkeit von der Seitenlänge

Waagerecht liest du die Breite in Metern, senkrecht die Fläche in Quadratmetern. Der Punkt (5,25) ist das Maximum.

Die Endpunkte zeigen nur Grenzfälle. Null und zehn gehören nicht zu den zulässigen Werten für Figuren mit positiven Seiten.

Die größtmögliche Fläche beträgt somit $25\text{ m}^2$ . Sie entsteht bei einem Quadrat mit den Seitenlängen $5\text{ m}\times5\text{ m}$ .

Nebenbedingung Modell Definitionsbereich und Scheitel

Die Tabelle sammelt die vier Teile, die aus dem Zaunproblem $eine einzige Variable$ machen. Jede Zeile nennt einen Teil des Problems neben seiner mathematischen Form.

Teil der Aufgabe	Mathematische Aussage	Bedeutung
Fester Umfang	$2p+2l=20$	Jedes zulässige Rechteck nutzt die gesamten $20\text{ m}$ Zaun.
Modell mit einer Variablen	$A(l)=-l^2+10l$	Zu jeder zulässigen Breite gehört genau eine Fläche.
Zulässiger Bereich	$0<l<10$	Beide Seitenlängen bleiben positiv.
Scheitel	$(5,25)$	Die Breite $5\text{ m}$ ergibt die Fläche $25\text{ m}^2$ .

Dasselbe Verfahren bei einer Gewinnfunktion

Dasselbe Verfahren funktioniert, wenn eine Größe einer $nach unten geöffneten Parabel$ folgt. Die Gewinnfunktion ist ein solcher Fall, und ihr Scheitel liefert die Menge mit dem größten Gewinn.

Produktionsgewinn

Der Gewinn beim Verkauf von $x$ Spielzeugen werde in $Tausend Rupiah$ durch folgende Funktion beschrieben:

P(x)=-2x^2+100x

Wegen $a=-2<0$ besitzt das Modell ein Maximum:

x_v=-\frac{100}{2(-2)}=25

Das Modell sagt einen maximalen Gewinn von $\text{IDR }1\,250\,000$ beim Verkauf von $25$ Spielzeugen voraus. Der Scheitel liegt bereits bei einer ganzen Zahl, daher ist kein Vergleich gerundeter Stückzahlen nötig.

Flughöhe eines Körpers

Die Höhe einer Spielzeugrakete nach $t\text{ s}$ werde beschrieben durch

h(t)=-5t^2+40t

Der $physikalisch sinnvolle Zeitraum$ ergibt sich aus den Zeitpunkten, zu denen die Höhe null ist:

-5t^2+40t=-5t(t-8)=0

Das Modell beginnt für $t=0$ am Boden und erreicht ihn für $t=8$ wieder. Sein physikalischer Zeitbereich ist daher $0\le t\le8$ . In diesem Intervall liegt das Maximum bei

t_v=-\frac{40}{2(-5)}=\frac{-40}{-10}=4\text{ s}

Die Rakete erreicht eine maximale Höhe von $80\text{ m}$ nach $4\text{ s}$ .

Übungsaufgabe

Die Aufgabe gibt den Umfang vor und verlangt das größte Rechteck, also muss die Nebenbedingung die $zweite Variable ersetzen$ . Schreibe zuerst die Fläche als Funktion einer einzigen Variablen auf.

Ein Rechteck hat den Umfang $60\text{ cm}$ . Bestimme die Länge und Breite, für die seine Fläche maximal wird, und berechne diese maximale Fläche.

Ausführliche Lösung

Die Länge sei $p\text{ cm}$ , die Breite $l\text{ cm}$ .
Forme die $Umfangsbedingung$ nach der Länge um.
$2p+2l=60$
Setze die Beziehung in die Flächenformel ein.
$A(l)=p\cdot l$
Der zulässige Bereich ist $0<l<30$ . Außerdem gilt $a=-1<0$ , sodass der Scheitel das Maximum liefert.
Berechne die Breite am Scheitel.

$l_v=-\frac{30}{2(-1)}=\frac{-30}{-2}=15\text{ cm}$
Berechne die zugehörige Länge und Fläche.
$p=30-l=30-15=15\text{ cm}$

Die maximale Fläche beträgt $225\text{ cm}^2$ . Sie entsteht bei einem Quadrat mit den Seitenlängen $15\text{ cm}\times15\text{ cm}$ .