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Bei einer Optimierungsaufgabe suchen wir den besten Wert, der eine vorgegebene Bedingung erfüllt. Aus einem Zaun fester Länge lassen sich zum Beispiel viele Rechtecke bilden. Ihre Flächen sind jedoch unterschiedlich groß. Mit einer quadratischen Funktion können wir alle zulässigen Rechtecke in einem Modell vergleichen.
Entscheidend ist nicht, eine Spezialformel für einen bestimmten Zaun auswendig zu lernen. Wir drücken eine Seitenlänge durch die andere aus, setzen diese Beziehung in die Flächenformel ein und deuten anschließend den Scheitel der entstehenden Parabel.
Eine quadratische Funktion hat die Form
Für öffnet sich ihr Graph nach unten. Der Scheitel ist dann der höchste Punkt des Graphen. Liegt er im zulässigen Bereich der Aufgabe, ist sein Funktionswert das Maximum.
Für berechnen wir die Scheitelkoordinaten mit
Gleichwertig dazu ist die Darstellung über die Diskriminante:
Die Rechnung liefert den Scheitel. Ob er in der Aufgabe tatsächlich zulässig ist, entscheidet der Sachzusammenhang. Längen dürfen nicht negativ sein, Stückzahlen müssen unter Umständen ganzzahlig sein und Zeitwerte müssen im beschriebenen Intervall liegen.
Ein Landwirt hat Zaunmaterial und möchte damit ein rechteckiges Hühnergehege einzäunen. Welche Seitenlängen ergeben die größtmögliche Fläche?
Benenne die Seitenlängen. Die Länge sei , die Breite .
Übersetze die Umfangsbedingung.
Stelle eine Flächenfunktion mit nur einer Variablen auf.
Gib den zulässigen Bereich an. Beide Seitenlängen müssen positiv sein, also gilt . Der Koeffizient ist negativ. Der Flächengraph öffnet sich deshalb nach unten.
Bestimme den Scheitel.
Berechne die andere Seitenlänge und die Fläche.
Prüfe und deute das Ergebnis. Der Scheitel liegt im Bereich . An den Randwerten fällt das Rechteck zusammen und die Fläche nähert sich . Damit liefert der innere Scheitel das globale Maximum.
Die größtmögliche Fläche beträgt somit . Sie entsteht bei einem Quadrat mit den Seitenlängen .
| Teil der Aufgabe | Mathematische Aussage | Bedeutung |
|---|---|---|
| Fester Umfang | Jedes zulässige Rechteck nutzt die gesamten Zaun. | |
| Modell mit einer Variablen | Zu jeder zulässigen Breite gehört genau eine Fläche. | |
| Zulässiger Bereich | Beide Seitenlängen bleiben positiv. | |
| Scheitel | Die Breite ergibt die Fläche . |
Der Gewinn beim Verkauf von Spielzeugen werde in Tausend Rupiah durch folgende Funktion beschrieben:
Wegen besitzt das Modell ein Maximum:
Das Modell sagt einen maximalen Gewinn von beim Verkauf von Spielzeugen voraus. Der Scheitel liegt bereits bei einer ganzen Zahl, daher ist kein Vergleich gerundeter Stückzahlen nötig.
Die Höhe einer Spielzeugrakete nach werde beschrieben durch
Der physikalisch sinnvolle Zeitraum ergibt sich aus den Zeitpunkten, zu denen die Höhe null ist:
Das Modell beginnt für am Boden und erreicht ihn für wieder. Sein physikalischer Zeitbereich ist daher . In diesem Intervall liegt das Maximum bei
Die Rakete erreicht eine maximale Höhe von nach .
Ein Rechteck hat den Umfang . Bestimme die Länge und Breite, für die seine Fläche maximal wird, und berechne diese maximale Fläche.
Die Länge sei , die Breite .
Forme die Umfangsbedingung nach der Länge um.
Setze die Beziehung in die Flächenformel ein.
Der zulässige Bereich ist . Außerdem gilt , sodass der Scheitel das Maximum liefert.
Berechne die Breite am Scheitel.
Berechne die zugehörige Länge und Fläche.
Die maximale Fläche beträgt . Sie entsteht bei einem Quadrat mit den Seitenlängen .
