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Über den reellen Zahlen allein hat eine Gleichung mit negativer Diskriminante keine Lösung. Über den komplexen Zahlen besitzt dagegen jede quadratische Gleichung zwei Lösungen. Fallen beide zusammen, wie bei unten, zählen wir diese doppelte Lösung zweimal.
Die Lösungsformel berechnet beide Lösungen direkt aus , und :
Der Ausdruck heißt Diskriminante und wird mit bezeichnet. Bei liegen zwei verschiedene reelle Lösungen vor, bei eine doppelte und bei zwei nichtreelle komplexe Lösungen. Am Vorzeichen von erkennst du also die Lösungsart, ohne die Formel ganz auszurechnen.
Für oder besitzt die quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen.
Beispiel:
Für oder stimmen beide Werte aus der Lösungsformel überein. Die Gleichung besitzt eine doppelte reelle Lösung.
Beispiel:
Für oder besitzt die quadratische Gleichung zwei nichtreelle komplexe Lösungen. Sie bilden ein konjugiertes Paar.
Dabei definiert die imaginäre Einheit.
Beispiel:
Im reellen Graphen sind reelle Lösungen die x-Koordinaten der Schnittpunkte mit der x-Achse. Die erste Kurve schneidet die Achse zweimal, die zweite berührt sie an der doppelten Lösung und die dritte bleibt darüber. Nichtreelle komplexe Lösungen liegen nicht auf der reellen x-Achse.
Sind und die Lösungen von , gelten nach den Formeln von Vieta:
Multipliziere die Faktorform aus und vergleiche die Koeffizienten gleicher Potenzen von x. So erhältst du Summe und Produkt der Lösungen:
Mit diesen Beziehungen lassen sich berechnete Lösungen überprüfen oder die Koeffizientenverhältnisse und bestimmen. Eine konkrete Gleichung ist festgelegt, sobald zusätzlich der Leitkoeffizient bekannt ist.
Die Aufgabe verlangt zuerst die Einordnung und danach die Lösungen, deshalb berechnest du die Diskriminante vor dem Wurzelziehen. Die Probe über Summe und Produkt zeigt anschließend, ob beide Nullstellen zusammenpassen.
Ordne die Lösungen der Gleichung ein und bestimme sie. Prüfe sie anschließend über ihre Summe und ihr Produkt.
Die Koeffizienten sind , und . Die Diskriminante ist
Wegen besitzt die Gleichung zwei nichtreelle komplexe Lösungen. Wir setzen in die Lösungsformel ein und verwenden :
Somit gilt:
Summe und Produkt stimmen mit den Formeln von Vieta überein:
Beide Kontrollen verwenden die ursprünglichen Koeffizienten. Dadurch fallen ein verlorenes Vorzeichen oder ein falscher Nenner in der Lösungsformel auf.
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