Was ist Produkt-Moment-Korrelation?
Die Produkt-Moment-Korrelation, meist Pearson-Korrelation genannt, wird mit bezeichnet. Sie beschreibt die Richtung und Stärke des zwischen zwei quantitativen Variablen.
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Die Produkt-Moment-Korrelation, meist Pearson-Korrelation genannt, wird mit bezeichnet. Sie beschreibt die Richtung und Stärke des zwischen zwei quantitativen Variablen.
Das Vorzeichen von zeigt die Richtung: positiv bedeutet gleichgerichtet, negativ bedeutet gegenläufig. Der Abstand von null beschreibt, wie deutlich die Punkte einem geradlinigen Muster folgen.
Am anschaulichsten wird , wenn wir zuerst die Punktwolke im Streudiagramm betrachten.
Liegt nahe bei , steigen beide Variablen tendenziell gemeinsam an.
Steigt die Punktwolke von links unten nach rechts oben und liegt sie dicht an einer Geraden, befindet sich nahe bei .
Ist positiv, aber näher an , ist die gleichgerichtete lineare Tendenz schwächer.
Für diese acht Punkte ergibt die Rechnung . Die lineare Tendenz ist positiv, aber schwach. Genau das zeigt auch die breite Streuung der Punkte.
Liegt nahe bei , nimmt die eine Variable tendenziell ab, wenn die andere zunimmt.
Fällt die Punktwolke von links oben nach rechts unten und liegt sie dicht an einer Geraden, befindet sich nahe bei .
Liegt nahe bei , ist nur ein sehr schwacher oder kein linearer Zusammenhang erkennbar.
Fehlt ein klares geradliniges Muster, liegt nahe bei . Ein gekrümmter oder anderer nichtlinearer Zusammenhang kann trotzdem vorhanden sein.
Der Pearson-Korrelationskoeffizient () misst, wie gemeinsam zwei Variablen ( und ) von ihren Mittelwerten abweichen, relativ zu ihrer jeweiligen eigenen Streuung.
Die Idee in drei Schritten:
Streuung der einzelnen Variablen:
Jede Variable ( und ) hat ihre eigene Streuung. misst die quadrierten Abweichungen der -Werte von ihrem Mittelwert, entsprechend die der -Werte.
Gemeinsame Abweichung:
Zusätzlich betrachten wir, wie und gemeinsam abweichen. Steigt tendenziell, wenn zunimmt, oder fällt es? Die Summe misst diese paarweisen Kreuzabweichungen. Sie ist der Zähler der Kovarianz; je nach Konvention wird für die Kovarianz zusätzlich durch oder geteilt.
Standardisierung:
Der Wert von hängt von den Maßeinheiten ab. Wird etwa Körpergröße in Metern statt Zentimetern gemessen, ändert sich die Kreuzabweichungssumme, obwohl der zugrunde liegende Zusammenhang gleich bleibt.
Deshalb müssen wir das Maß standardisieren. Wir teilen durch die geometrische Verbindung der beiden Streuungsmaße, .
Das Ergebnis ist , der Pearson-Korrelationskoeffizient. Wenn beide Variablen eine von null verschiedene Streuung besitzen, beschränkt die Standardisierung seinen Wert auf das Intervall von bis , unabhängig von den ursprünglichen Maßeinheiten. So lassen sich lineare Zusammenhänge verschiedener Variablenpaare vergleichen.
Damit vergleicht die paarweisen Abweichungen von und mit der getrennten Streuung beider Variablen.
Für die genaue Berechnung von verwenden wir die folgenden Abweichungssummen:
Was sind , und ?
Sie beschreiben die Streuung und gemeinsame Abweichung unserer Daten:
(Quadratsumme für ): Misst, wie weit die -Daten von ihrem Mittelwert abweichen.
(Quadratsumme für ): Misst, wie weit die -Daten von ihrem Mittelwert abweichen.
(Summe der Produkte der Abweichungen für und ): Misst, wie und variieren.
Dabei bedeutet:
Nachdem wir die drei -Werte berechnet haben, setzen wir sie in die Formel für ein.
Die Formel setzt und voraus. Ist eine der Variablen konstant, wird der Nenner null und Pearsons ist nicht definiert.
Sobald bestimmt ist, bietet die folgende Tabelle eine grobe sprachliche Einordnung. Ihre Grenzen sind Konventionen und keine universellen Naturgesetze. Die praktische Bedeutung hängt vom Fachgebiet, von der Messqualität, vom Stichprobenumfang und vom Sachzusammenhang ab. Deshalb gehört das Streudiagramm immer zur Deutung dazu.
| Wert von | Korrelationsstärke | Beschreibung |
|---|---|---|
| Perfekt positiv | Alle Punkte liegen genau auf einer ansteigenden Linie. | |
| Stark positiv | Klare und starke positive lineare Beziehung. | |
| Mäßig positiv | Mäßig sichtbarer positiver linearer Zusammenhang. | |
| Schwach positiv | Sehr geringe positive lineare Beziehung. | |
| Keine lineare Korrelation | Kein lineares Muster; ein nichtlinearer Zusammenhang ist weiterhin möglich. | |
| Schwach negativ | Sehr schwacher negativer linearer Zusammenhang. | |
| Mäßig negativ | Mäßig sichtbarer negativer linearer Zusammenhang. | |
| Stark negativ | Klarer und starker negativer linearer Zusammenhang. | |
| Perfekt negativ | Alle Punkte liegen genau auf einer fallenden Geraden. |