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Das Vorzeichen von zeigt die Richtung: positiv bedeutet gleichgerichtet, negativ bedeutet gegenläufig. Der Abstand von null beschreibt, wie deutlich die Punkte einem geradlinigen Muster folgen.
Das Streudiagramm zeigt die Richtung und Stärke des Zusammenhangs, den beschreibt. Von links nach rechts ansteigende Punkte deuten auf eine positive Korrelation, von links nach rechts fallende Punkte auf eine negative, und eine formlose Punktwolke auf keinen Zusammenhang. Der Korrelationskoeffizient macht diese Beobachtung zu einer einzigen Zahl.
Liegt nahe bei , steigen beide Variablen tendenziell gemeinsam an.
Steigt die Punktwolke von links unten nach rechts oben und liegt sie dicht an einer Geraden, befindet sich nahe bei .
Ist positiv, aber näher an , ist die gleichgerichtete lineare Tendenz schwächer.
Für diese acht Punkte ergibt die Rechnung . Die lineare Tendenz ist positiv, aber schwach. Genau das zeigt auch die breite Streuung der Punkte.
Liegt nahe bei , nimmt die eine Variable tendenziell ab, wenn die andere zunimmt.
Fällt die Punktwolke von links oben nach rechts unten und liegt sie dicht an einer Geraden, befindet sich nahe bei .
Liegt nahe bei , ist nur ein sehr schwacher oder kein linearer Zusammenhang erkennbar.
Für die dargestellten Punkte gilt . Der lineare Zusammenhang ist sehr schwach. Der Koeffizient ist dabei nicht genau null. Auch bei einer Pearson-Korrelation nahe null müssen mögliche nichtlineare Muster geprüft werden.
Der Pearson-Korrelationskoeffizient () misst, wie gemeinsam zwei Variablen ( und ) von ihren Mittelwerten abweichen, relativ zu ihrer jeweiligen eigenen Streuung.
Die Idee in drei Schritten:
Trenne die Streuung jeder Variablen von der gemeinsamen Tendenz ihrer gepaarten Abweichungen. So bestimmen die Maßeinheiten der beiden Variablen nicht die Größe des Korrelationskoeffizienten.
Jede Variable ( und ) hat ihre eigene Streuung. Für jede Beobachtung berechnest du zuerst den Abstand zum zugehörigen Mittelwert und quadrierst dann diese Abweichung. misst die quadrierten Abweichungen der -Werte von ihrem Mittelwert, entsprechend die der -Werte.
Zusätzlich betrachten wir, wie und gemeinsam abweichen. Steigt tendenziell, wenn zunimmt, oder fällt es? Die Summe misst diese paarweisen Kreuzabweichungen. Sie ist der Zähler der Kovarianz. Je nach Konvention wird für die Kovarianz zusätzlich durch oder geteilt.
Der Wert von hängt von den Maßeinheiten ab. Wird etwa Körpergröße in Metern statt Zentimetern gemessen, ändert sich die Kreuzabweichungssumme, obwohl der zugrunde liegende Zusammenhang gleich bleibt.
Deshalb müssen wir das Maß standardisieren. Wir teilen durch die geometrische Verbindung der beiden Streuungsmaße, .
Das Ergebnis ist , der Pearson-Korrelationskoeffizient. Wenn beide Variablen eine von null verschiedene Streuung besitzen, beschränkt die Standardisierung seinen Wert auf das Intervall von bis , unabhängig von den ursprünglichen Maßeinheiten. So lassen sich lineare Zusammenhänge verschiedener Variablenpaare vergleichen.
Damit vergleicht die paarweisen Abweichungen von und mit der getrennten Streuung beider Variablen.
Für die genaue Berechnung von verwenden wir die folgenden Abweichungssummen:
Was sind , und ?
Die drei Größen haben unterschiedliche Aufgaben. und messen die Streuung der einzelnen Variablen, während die gemeinsame Abweichung misst:
(Quadratsumme für ): Misst, wie weit die -Daten von ihrem Mittelwert abweichen.
(Quadratsumme für ): Misst, wie weit die -Daten von ihrem Mittelwert abweichen.
(Summe der Produkte der Abweichungen für und ): Misst, wie und variieren.
Dabei bedeutet:
Nachdem wir die drei -Werte berechnet haben, setzen wir sie in die Formel für ein.
Die Formel setzt und voraus. Ist eine der Variablen konstant, wird der Nenner null und Pearsons ist nicht definiert.
Verwende die Daten mit schwacher positiver Korrelation. Berechne das Produkt jedes zusammengehörigen Paares und das Quadrat jedes Wertes. Addiere anschließend jede Spalte.
Die letzte Zeile enthält die Summe jeder Spalte. Für ergeben sich die drei Abweichungssummen:
Sobald bestimmt ist, bietet die folgende Tabelle eine grobe sprachliche Einordnung. Ihre Grenzen folgen aus den Konventionen des jeweiligen Fachgebiets. Die praktische Bedeutung hängt vom Fachgebiet, von der Messqualität, vom Stichprobenumfang und vom Sachzusammenhang ab. Deshalb gehört das Streudiagramm immer zur Deutung dazu.
| Wert von | Korrelationsstärke | Beschreibung |
|---|---|---|
| Perfekt positiv | Alle Punkte liegen genau auf einer ansteigenden Linie. | |
| Stark positiv | ist positiv und liegt nahe bei . | |
| Mäßig positiv | ist positiv und liegt zwischen und . | |
| Schwach positiv | ist positiv und liegt nahe bei . | |
| Keine lineare Korrelation | Kein lineares Muster. Ein nichtlinearer Zusammenhang ist weiterhin möglich. | |
| Schwach negativ | ist negativ und liegt nahe bei . | |
| Mäßig negativ | ist negativ und liegt zwischen und . | |
| Stark negativ | ist negativ und liegt nahe bei . | |
| Perfekt negativ | Alle Punkte liegen genau auf einer fallenden Geraden. |
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