Trigonometrischer Vergleich: Sinus und Kosinus

Was ist das Kosinusverhältnis?

Der Kosinus eines Winkels $\theta$ in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der Ankathete zur Hypotenuse.

Sinus- und Kosinuswerte für gemeinsame Winkel

Hier sind einige Sinus- und Kosinuswerte für häufig verwendete Winkel:

Anwendungen von Sinus und Kosinus

Sinus und Kosinus haben viele wichtige Anwendungen im Alltag, insbesondere in:

1. Messen der Höhe von Gebäuden oder Objekten
2. Navigation und Peilung
3. Architektur und Bauwesen
4. Physik und Ingenieurwesen
5. Entwurf und Berechnung von Bauwerken

Ein rechtwinkliges Modell einer Pyramide

Betrachte einen mittleren Schnitt durch die Spitze einer regelmäßigen Pyramide und den Mittelpunkt einer Grundkante. Eine Hälfte dieses Schnitts ist ein rechtwinkliges Dreieck. Seine senkrechte Kathete ist die Pyramidenhöhe, seine waagerechte Kathete die halbe Grundbreite und seine Hypotenuse die Seitenhöhe vom Grundkantenmittelpunkt zur Spitze.

Verwenden des Sinus zur Berechnung der Pyramidenhöhe

Die Seitenhöhe sei $600 \text{ m}$ lang und bilde mit der Grundfläche einen Winkel von $41^\circ$. Die Pyramidenhöhe liegt diesem Winkel gegenüber.

Um die Höhe der Pyramide zu berechnen, verwenden wir das Sinusverhältnis:

Die modellierte Pyramidenhöhe beträgt ungefähr $393{,}6 \text{ m}$.

Mit Kosinus die halbe Grundbreite berechnen

Die waagerechte Kathete liegt am Winkel $41^\circ$ an. Daher liefert der Kosinus die halbe Grundbreite:

Die volle Grundbreite dieses Schnitts beträgt somit ungefähr $2y = 905{,}7 \text{ m}$.

Unterschiede und Ähnlichkeiten zwischen Sin, Cos und Tan

Unterschiede

1. Sinus $\sin \theta$ vergleicht die Gegenkathete mit der Hypotenuse.
2. Kosinus $\cos \theta$ vergleicht die Ankathete mit der Hypotenuse.
3. Tangens $\tan \theta$ vergleicht die Gegenkathete mit der Ankathete.

Ähnlichkeiten

1. Alle drei sind trigonometrische Verhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken.

2. Alle drei ändern ihre Werte entsprechend dem Winkel.

3. Diese drei Verhältnisse haben einen mathematischen Zusammenhang:

   $$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta},\qquad \cos \theta \ne 0$$

Übungsaufgabe

Ein Kind lässt einen Drachen $3{,}5 \text{ m}$ über ebenem Boden steigen. Es hält das Ende der geraden, gespannten Schnur $60 \text{ cm}$ über dem Boden. Die Schnur bildet mit der Waagerechten einen Winkel von $25^\circ$. Wie lang ist sie?

Welches trigonometrische Verhältnis sollten wir verwenden, um dieses Problem zu lösen?

Richtige Lösung:

1. Wir müssen die Schnurlänge (Hypotenuse) berechnen.

2. Wir kennen die effektive Höhe des Drachens, die $3{,}5 \text{m} - 0{,}6 \text{m} = 2{,}9 \text{m}$ beträgt.

3. Wir kennen den Höhenwinkel $25^\circ$.

4. Da wir die Hypotenuse suchen und die Gegenkathete (effektive Höhe) kennen, verwenden wir das Sinusverhältnis:

   $$\sin 25^\circ = \frac{\text{effektive Höhe}}{\text{Schnurlänge}}$$

Auf Zehntelmeter gerundet ist die Schnur ungefähr $6{,}9 \text{ m}$ lang.