Was ist Tangens in trigonometrischen Verhältnissen?
Beim Studium der Trigonometrie stoßen wir auf verschiedene Arten von Verhältnissen. Eines der grundlegendsten ist das Tangensverhältnis, das oft als geschrieben wird.
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Beim Studium der Trigonometrie stoßen wir auf verschiedene Arten von Verhältnissen. Eines der grundlegendsten ist das Tangensverhältnis, das oft als geschrieben wird.
In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete, jeweils bezogen auf den betrachteten Winkel.
In einem rechtwinkligen Dreieck können wir Folgendes beobachten:
Tangenswerte besonderer Winkel lassen sich exakt angeben. Die Dezimalzahlen sind nur Näherungen:
Diese Werte folgen aus den Seitenverhältnissen der zugehörigen rechtwinkligen Dreiecke.
Betrachte ein exaktes -Dreieck mit Gegenkathete , Ankathete und Hypotenuse .
Der Tangenswert dieses Winkels ist:
Der Tangens ist unter anderem nützlich für:
Betrachte das folgende rechtwinklige Dreieck. Der spitze Winkel ist , die Gegenkathete ist lang und die Ankathete .
Bestimme und erkläre, welche beiden Seiten das Verhältnis bilden.
Bezogen auf ist die lange Seite die Gegenkathete und die lange Seite die Ankathete. Der Tangens vergleicht genau diese beiden Seiten:
Die Zentimetereinheiten kürzen sich, weil der Tangens ein Verhältnis ist. Somit gilt . Der Wert ist größer als , was zur längeren Gegenkathete passt.
Zur Kontrolle gilt . Das stimmt mit dem spitzen Winkel im Diagramm überein.