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Die -Achse steht senkrecht auf der -Ebene. In diesem kartesischen System folgt die Reihenfolge der Komponenten stets der -, dann der - und schließlich der -Achse.
Die dritte Komponente von beträgt beispielsweise . Sie muss auf dem Bildschirm nicht als senkrechte Höhe erscheinen.
Dreidimensionale Vektoren lassen sich auf verschiedene Arten schreiben:
Für den Vektor im ersten Diagramm beschreiben diese drei Komponentenschreibweisen dieselbe Verschiebung:
Ein Vektor im Raum besitzt drei skalare Koordinatenkomponenten. Multiplizieren wir jeden Skalar mit dem Einheitsvektor seiner Achse, erhalten wir die zugehörige Vektorprojektion:
Die Komponenten in dieser Form bedeuten:
Der Betrag oder die Länge eines dreidimensionalen Vektors wird mit folgender Formel berechnet:
Beispiel:
Für ergibt sich der Betrag von zu:
Bei Addition und Subtraktion verbindest du Komponenten derselben Achse. Bei der skalaren Multiplikation multiplizierst du jede Komponente mit derselben Zahl. Achte auch auf die Art des Ergebnisses: Das Skalarprodukt ergibt eine Zahl, das Kreuzprodukt einen Vektor.
Die Addition und Subtraktion dreidimensionaler Vektoren erfolgt durch Addition oder Subtraktion der entsprechenden Komponenten.
Für und gilt:
Die Multiplikation eines Skalars mit einem Vektor vervielfacht dessen Betrag mit . Ist nicht null, bleibt die Richtung für gleich und kehrt sich für um.
Das Skalarprodukt zweier Vektoren und ist eine Zahl und wird so berechnet:
Für diese Winkelformel müssen beide Vektoren ungleich null sein. Das Symbol bezeichnet den Winkel zwischen ihren Richtungen.
Das Skalarprodukt hat folgende Eigenschaften:
Das Kreuzprodukt zweier Vektoren und ist ein Vektor, dessen Skalarprodukt mit jedem Faktor null ist:
Der Betrag des Kreuzprodukts beträgt:
Für diese Winkelformel müssen beide Vektoren ungleich null sein. Das Symbol bezeichnet den Winkel zwischen ihren Richtungen.
Wenn gilt, steht seine Richtung senkrecht auf beiden Faktoren und folgt der Rechte-Hand-Regel von zu . Ist einer der Faktoren der Nullvektor oder sind beide Faktoren parallel, ist das Kreuzprodukt und besitzt deshalb keine geometrische Richtung.
Im Diagramm gilt und . Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander, deshalb ist ihr Skalarprodukt null:
Das Kreuzprodukt liefert dagegen einen Vektor. Setze die Komponenten beider Vektoren in die Formel ein:
Das Ergebnis zeigt wie der grüne Pfeil entlang der positiven -Achse. Sein Betrag entspricht dem Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen und .
In der Robotik gibt ein Verschiebungsvektor an, wie weit sich ein Roboterarm entlang jeder Achse bewegen soll. Die Spitze des Arms startet beispielsweise bei und soll erreichen:
Die Verschiebung entlang jeder Achse beträgt Einheiten. Der Betrag der geradlinigen Verschiebung unterscheidet sich von der Summe der Komponenten:
Computergrafik und Navigation verwenden dieselben Rechnungen für Positionen und Verschiebungen. In der Physik können die Komponenten Kraft, Geschwindigkeit, Beschleunigung oder Impuls beschreiben. Im Maschinenbau helfen Vektoren bei der Untersuchung von Kräften in Tragwerken und von Fluidströmungen. Bedeutung und Einheit der Komponenten richten sich nach der dargestellten Größe.
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