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Bei der Skalarmultiplikation wird eine reelle Zahl, der Skalar, mit einem Vektor v ⃗ \vec{v} v
Ist k k k v ⃗ \vec{v} v k ⋅ v ⃗ k \cdot \vec{v} k ⋅ v
Die Skalarmultiplikation von Vektoren hat mehrere wichtige Eigenschaften:
Wenn k > 0 k > 0 k > 0
Wenn k < 0 k < 0 k < 0
Wenn k = 0 k = 0 k = 0
Der Betrag des Ergebnisvektors entsteht, indem der ursprüngliche Betrag mit ∣ k ∣ |k| ∣ k ∣
Geometrisch verändert die Multiplikation den Betrag eines Vektors um den Faktor ∣ k ∣ |k| ∣ k ∣ k k k
Wenn k > 0 k > 0 k > 0
Wenn k < 0 k < 0 k < 0
In beiden Fällen und auch für k = 0 k=0 k = 0
Wenn v ⃗ = ( v 1 , v 2 , v 3 ) \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) 3 3 3
In Einheitsvektornotation:
Gegeben ist der Vektor a ⃗ = 2 i ⃗ + 3 j ⃗ + 5 k ⃗ \vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j} + 5\vec{k} a = 2 i + 3 j + 5 k 2 a ⃗ 2\vec{a} 2 a
Gegeben ist der Vektor v ⃗ = ( 4 , − 2 , 3 ) \vec{v} = (4, -2, 3) v = ( 4 , − 2 , 3 ) − 3 v ⃗ -3\vec{v} − 3 v
Weil der Skalar negativ ist, zeigt der Ergebnisvektor in die entgegengesetzte Richtung.
Die Skalarmultiplikation von Vektoren hat viele Anwendungen in der Physik und Mathematik, wie zum Beispiel:
Kraft und Beschleunigung : Wenn ein Objekt mit der Masse m m m a ⃗ \vec{a} a F ⃗ = m a ⃗ \vec{F} = m\vec{a} F = m a
Geschwindigkeit : Bewegt sich ein Körper während der Zeit t t t v ⃗ \vec{v} v s ⃗ = t v ⃗ \vec{s} = t\vec{v} s = t v
Skalierung in Computergrafiken : Werden alle Ortsvektoren mit k k k c ⃗ \vec{c} c p ⃗ \vec{p} p
Gegeben ist der Vektor a ⃗ = 3 i ⃗ − 4 j ⃗ + 2 k ⃗ \vec{a} = 3\vec{i} - 4\vec{j} + 2\vec{k} a = 3 i − 4 j + 2 k − 2 a ⃗ -2\vec{a} − 2 a
Gegeben sind die Vektoren u ⃗ = ( 2 , − 5 , 1 ) \vec{u} = (2, -5, 1) u = ( 2 , − 5 , 1 ) v ⃗ = ( − 4 , 3 , 6 ) \vec{v} = (-4, 3, 6) v = ( − 4 , 3 , 6 )
Gegeben ist ∣ B R → ∣ = 3,4 cm |\overrightarrow{BR}| = 3{,}4 \text{ cm} ∣ B R ∣ = 3 , 4 cm B U → = 0,65 ⋅ B R → \overrightarrow{BU} = 0{,}65 \cdot \overrightarrow{BR} B U = 0 , 65 ⋅ B R
Der Vektor p ⃗ \vec{p} p 5 Einheiten 5 \text{ Einheiten} 5 Einheiten q ⃗ = 3 p ⃗ \vec{q} = 3\vec{p} q = 3 p
Die Punkte A ( 2 , 3 , − 1 ) A(2, 3, -1) A ( 2 , 3 , − 1 ) B ( 5 , − 2 , 4 ) B(5, -2, 4) B ( 5 , − 2 , 4 ) C C C A A A
Gegeben ist der Vektor a ⃗ = 3 i ⃗ − 4 j ⃗ + 2 k ⃗ \vec{a} = 3\vec{i} - 4\vec{j} + 2\vec{k} a = 3 i − 4 j + 2 k − 2 a ⃗ -2\vec{a} − 2 a
Damit ist − 2 a ⃗ -2\vec{a} − 2 a − 6 i ⃗ + 8 j ⃗ − 4 k ⃗ -6\vec{i} + 8\vec{j} - 4\vec{k} − 6 i + 8 j − 4 k
Gegeben sind die Vektoren u ⃗ = ( 2 , − 5 , 1 ) \vec{u} = (2, -5, 1) u = ( 2 , − 5 , 1 ) v ⃗ = ( − 4 , 3 , 6 ) \vec{v} = (-4, 3, 6) v = ( − 4 , 3 , 6 ) 2 u ⃗ − 3 v ⃗ 2\vec{u} - 3\vec{v} 2 u − 3 v
Der Ergebnisvektor 2 u ⃗ − 3 v ⃗ 2\vec{u} - 3\vec{v} 2 u − 3 v ( 16 , − 19 , − 16 ) (16, -19, -16) ( 16 , − 19 , − 16 ) 16 i ⃗ − 19 j ⃗ − 16 k ⃗ 16\vec{i} - 19\vec{j} - 16\vec{k} 16 i − 19 j − 16 k
Gegeben ist ∣ B R → ∣ = 3,4 cm |\overrightarrow{BR}| = 3{,}4 \text{ cm} ∣ B R ∣ = 3 , 4 cm B U → = 0,65 ⋅ B R → \overrightarrow{BU} = 0{,}65 \cdot \overrightarrow{BR} B U = 0 , 65 ⋅ B R U R → = 0,35 ⋅ B R → \overrightarrow{UR} = 0{,}35 \cdot \overrightarrow{BR} U R = 0 , 35 ⋅ B R
Lösung:
Es genügt zu zeigen, dass beide Teilvektoren positive skalare Vielfache desselben Referenzvektors sind.
B U → = 0,65 ⋅ B R → \overrightarrow{BU} = 0{,}65 \cdot \overrightarrow{BR} B U = 0 , 65 ⋅ B R
U R → = 0,35 ⋅ B R → \overrightarrow{UR} = 0{,}35 \cdot \overrightarrow{BR} U R = 0 , 35 ⋅ B R
Zunächst prüfen wir B U → + U R → = B R → \overrightarrow{BU} + \overrightarrow{UR} = \overrightarrow{BR} B U + U R = B R
Damit gilt B U → + U R → = B R → \overrightarrow{BU} + \overrightarrow{UR} = \overrightarrow{BR} B U + U R = B R B B B U U U R R R
In B U → = 0,65 ⋅ B R → \overrightarrow{BU} = 0{,}65 \cdot \overrightarrow{BR} B U = 0 , 65 ⋅ B R U R → = 0,35 ⋅ B R → \overrightarrow{UR} = 0{,}35 \cdot \overrightarrow{BR} U R = 0 , 35 ⋅ B R 0,65 0{,}65 0 , 65 0,35 0{,}35 0 , 35 B R → \overrightarrow{BR} B R
Damit haben B R → \overrightarrow{BR} B R B U → \overrightarrow{BU} B U U R → \overrightarrow{UR} U R
Der Vektor p ⃗ \vec{p} p 5 Einheiten 5 \text{ Einheiten} 5 Einheiten q ⃗ = 3 p ⃗ \vec{q} = 3\vec{p} q = 3 p q ⃗ \vec{q} q
Lösung:
Gegeben sind ∣ p ⃗ ∣ = 5 Einheiten |\vec{p}| = 5 \text{Einheiten} ∣ p ∣ = 5 Einheiten q ⃗ = 3 p ⃗ \vec{q} = 3\vec{p} q = 3 p
Für den Betrag von q ⃗ \vec{q} q
Der Betrag von q ⃗ \vec{q} q 15 Einheiten 15 \text{ Einheiten} 15 Einheiten
Die Punkte A ( 2 , 3 , − 1 ) A(2, 3, -1) A ( 2 , 3 , − 1 ) B ( 5 , − 2 , 4 ) B(5, -2, 4) B ( 5 , − 2 , 4 ) C C C A A A B B B A C → = 2 A B → \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB} A C = 2 A B C C C
Lösung:
Zuerst bestimmen wir den Vektor A B → \overrightarrow{AB} A B
Dann verwenden wir die Beziehung A C → = 2 A B → \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB} A C = 2 A B A C → \overrightarrow{AC} A C
Nun bestimmen wir die Koordinaten des Punktes C C C
Damit hat der Punkt C C C C ( 8 , − 7 , 9 ) C(8, -7, 9) C ( 8 , − 7 , 9 )
p ⃗ ′ = c ⃗ + k ( p ⃗ − c ⃗ ) \vec{p}'=\vec{c}+k(\vec{p}-\vec{c}) p ′ = c + k ( p − c ) 2 u ⃗ − 3 v ⃗ 2\vec{u} - 3\vec{v} 2 u − 3 v U R → = 0,35 ⋅ B R → \overrightarrow{UR} = 0{,}35 \cdot \overrightarrow{BR} U R = 0 , 35 ⋅ B R A C → = 2 A B → \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB} A C = 2 A B
