Skalarmultiplikation von Vektoren

Wie ein reeller Faktor Betrag und Richtung verändert

Bei der Skalarmultiplikation wird eine reelle Zahl, der Skalar, mit einem Vektor $\vec{v}$ multipliziert. Der Betrag des Ergebnisvektors ist der ursprüngliche Betrag multipliziert mit $dem Betrag des Skalars$ . Ist der ursprüngliche Vektor nicht null, bestimmt das Vorzeichen des Skalars, ob die Richtung gleich bleibt oder sich umkehrt.

Ist $k$ ein reeller Skalar und $\vec{v}$ ein Vektor, schreiben wir die Skalarmultiplikation als $k \cdot \vec{v}$ .

Eigenschaften der Skalarmultiplikation von Vektoren

Die Skalarmultiplikation verändert einen Vektor nach den folgenden Regeln:

Wenn $k > 0$ und der Ausgangsvektor nicht null ist, zeigt der Ergebnisvektor in dieselbe Richtung.
Wenn $k < 0$ und der Ausgangsvektor nicht null ist, zeigt der Ergebnisvektor in die entgegengesetzte Richtung.
Wenn $k = 0$ , dann ist der resultierende Vektor ein Nullvektor.
Der Betrag des Ergebnisvektors entsteht, indem der ursprüngliche Betrag mit $|k|$ multipliziert wird.

Das Diagramm verwendet $\vec v=(2,1)$ . $Endpunkt minus Anfangspunkt$ ergibt für die drei Pfeile $(2,1)$ , $(4,2)$ und $(-2,-1)$ .

Länge und Richtung beim Skalieren

Die Pfeilanfänge sind versetzt, damit du alle drei Vektoren vergleichen kannst. Ein positiver Faktor erhält die Richtung, ein negativer kehrt sie um.

Darstellung der Skalarmultiplikation von Vektoren

Der $Betrag des Skalars$ bestimmt die neue Länge. Sein Vorzeichen entscheidet, ob die Richtung gleich bleibt oder sich umkehrt. Die Multiplikation mit null ergibt den Nullvektor, der keine Richtung besitzt.

Betrag und Richtung eines skalierten Vektors

Geometrisch verändert die Multiplikation den Betrag eines Vektors um den Faktor $|k|$ . Für einen Vektor ungleich null hängt die Richtung vom $Vorzeichen$ von $k$ ab:

Wenn $k > 0$ , bleibt die Richtung des Vektors unverändert
Wenn $k < 0$ , ist die Richtung des Vektors entgegengesetzt zum ursprünglichen Vektor

In beiden Fällen und auch für $k=0$ gilt für den Betrag:

|k \cdot \vec{v}| = |k| \cdot |\vec{v}|

Einen Vektor komponentenweise skalieren

Multipliziere $jede Komponente mit demselben Faktor$ . Die Reihenfolge der Komponenten folgt weiterhin der Reihenfolge der Koordinatenachsen.

Wenn $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$ ein Vektor im $3$ -dimensionalen Raum ist, dann:

\begin{aligned} k \cdot \vec{v} &= k(v_1, v_2, v_3) \\ &= (k \cdot v_1, k \cdot v_2, k \cdot v_3) \end{aligned}

In Einheitsvektornotation:

\begin{aligned} k \cdot \vec{v} &= k(v_1\vec{i} + v_2\vec{j} + v_3\vec{k}) \\ &= k \cdot v_1\vec{i} + k \cdot v_2\vec{j} + k \cdot v_3\vec{k} \end{aligned}

Vektoren mit positiven und negativen Skalaren multiplizieren

Ein Faktor größer als eins verlängert den Vektor, ein Faktor zwischen null und eins verkürzt ihn, und ein $negativer Faktor dreht zusätzlich die Richtung um$ . Diese Richtungsaussagen gelten für einen $Ausgangsvektor ungleich null$ . Der Nullvektor bleibt bei Multiplikation mit jedem Skalar null und hat keine definierte Richtung.

Mit einem positiven Skalar multiplizieren

Gegeben ist der Vektor $\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j} + 5\vec{k}$ . Bestimme das Ergebnis der Multiplikation $2\vec{a}$ .

$Lösung$ :

\begin{aligned} 2\vec{a} &= 2(2\vec{i} + 3\vec{j} + 5\vec{k}) \\ &= 4\vec{i} + 6\vec{j} + 10\vec{k} \end{aligned}

Mit einem negativen Skalar multiplizieren

Gegeben ist der Vektor $\vec{v} = (4, -2, 3)$ . Bestimme das Ergebnis von $-3\vec{v}$ .

$Lösung$ :

\begin{aligned} -3\vec{v} &= -3(4, -2, 3) \\ &= (-12, 6, -9) \end{aligned}

Weil der Skalar negativ ist, zeigt der Ergebnisvektor in die entgegengesetzte Richtung.

Anwendungen der Skalarmultiplikation von Vektoren

Die Skalarmultiplikation von Vektoren hat viele Anwendungen in der Physik und Mathematik, wie zum Beispiel:

$Kraft und Beschleunigung$ : Wenn ein Objekt mit der Masse $m$ eine Beschleunigung $\vec{a}$ erfährt, dann beträgt die auf das Objekt wirkende Kraft $\vec{F} = m\vec{a}$ .
$Geschwindigkeit$ : Bewegt sich ein Körper während der Zeit $t$ mit der konstanten Geschwindigkeit $\vec{v}$ , dann ist seine Verschiebung $\vec{s} = t\vec{v}$ .
$Skalierung in Computergrafiken$ : Werden alle Ortsvektoren mit $k$ multipliziert, wird das Objekt um den Koordinatenursprung skaliert. Für eine Skalierung um ein anderes Zentrum $\vec{c}$ muss jeder Punkt $\vec{p}$ verschoben, skaliert und zurückverschoben werden: $\vec{p}'=\vec{c}+k(\vec{p}-\vec{c})$ .

Übungsaufgaben

Jede Aufgabe multipliziert einen Vektor mit einem oder zwei Skalaren. Multipliziere $jede Komponente mit demselben Faktor$ und fasse die Ergebnisse zusammen, wenn zwei Skalare auftreten.

Gegeben ist der Vektor $\vec{a} = 3\vec{i} - 4\vec{j} + 2\vec{k}$ . Bestimme $-2\vec{a}$ .
Gegeben sind die Vektoren $\vec{u} = (2, -5, 1)$ und $\vec{v} = (-4, 3, 6)$ . Bestimme den Vektor $2\vec{u} - 3\vec{v}$ .
Gegeben ist $|\overrightarrow{BR}| = 3{,}4 \text{ cm}$ . Wenn $\overrightarrow{BU} = 0{,}65 \cdot \overrightarrow{BR}$ und $\overrightarrow{UR} = 0{,}35 \cdot \overrightarrow{BR}$ , zeige, dass alle drei Vektoren dieselbe Richtung haben.
Der Vektor $\vec{p}$ hat den Betrag $5 \text{ Einheiten}$ , und es gilt $\vec{q} = 3\vec{p}$ . Bestimme den Betrag von $\vec{q}$ .
Die Punkte $A(2, 3, -1)$ und $B(5, -2, 4)$ sind gegeben. Der Punkt $C$ liegt auf der Geraden durch $A$ und $B$ , wobei $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$ gilt. Bestimme die Koordinaten von $C$ .

Lösungen

Jede Lösung multipliziert $alle Komponenten mit demselben Faktor$ und fasst anschließend die Komponenten derselben Achse zusammen. Ein negativer Faktor mal eine negative Komponente ergibt eine positive Komponente. Einen Endpunkt erhältst du, indem du den Verschiebungsvektor zum Anfangspunkt addierst.

$Aufgabe 1$ . Gegeben ist der Vektor $\vec{a} = 3\vec{i} - 4\vec{j} + 2\vec{k}$ . Für $-2\vec{a}$ multiplizierst du jede Komponente mit demselben negativen Skalar.

\begin{aligned} -2\vec{a} &= -2(3\vec{i} - 4\vec{j} + 2\vec{k}) \\ &= -6\vec{i} + 8\vec{j} - 4\vec{k} \end{aligned}

Damit ist $-2\vec{a}$ gleich $-6\vec{i} + 8\vec{j} - 4\vec{k}$ .

$Aufgabe 2$ . Gegeben sind die Vektoren $\vec{u} = (2, -5, 1)$ und $\vec{v} = (-4, 3, 6)$ . Für $2\vec{u} - 3\vec{v}$ berechnest du beide Vielfachen und subtrahierst anschließend die $entsprechenden Komponenten$ .

\begin{aligned} 2\vec{u} &= 2(2, -5, 1) = (4, -10, 2) \\ 3\vec{v} &= 3(-4, 3, 6) = (-12, 9, 18) \\ 2\vec{u} - 3\vec{v} &= (4, -10, 2) - (-12, 9, 18) \\ &= (4 - (-12), -10 - 9, 2 - 18) \\ &= (4 + 12, -10 - 9, 2 - 18) \\ &= (16, -19, -16) \end{aligned}

Der Ergebnisvektor $2\vec{u} - 3\vec{v}$ hat also die Komponenten $(16, -19, -16)$ oder lautet in Einheitsvektorschreibweise $16\vec{i} - 19\vec{j} - 16\vec{k}$ .

$Aufgabe 3$ . Gegeben ist $|\overrightarrow{BR}| = 3{,}4 \text{ cm}$ . Wenn $\overrightarrow{BU} = 0{,}65 \cdot \overrightarrow{BR}$ und $\overrightarrow{UR} = 0{,}35 \cdot \overrightarrow{BR}$ , zeige, dass alle drei Vektoren dieselbe Richtung haben.

Es genügt zu zeigen, dass beide Teilvektoren $positive skalare Vielfache$ desselben Referenzvektors sind.

Wir wissen:

$\overrightarrow{BU} = 0{,}65 \cdot \overrightarrow{BR}$
$\overrightarrow{UR} = 0{,}35 \cdot \overrightarrow{BR}$

Zunächst prüfen wir $\overrightarrow{BU} + \overrightarrow{UR} = \overrightarrow{BR}$ :

\begin{aligned} \overrightarrow{BU} + \overrightarrow{UR} &= 0{,}65 \cdot \overrightarrow{BR} + 0{,}35 \cdot \overrightarrow{BR} \\ &= (0{,}65 + 0{,}35) \cdot \overrightarrow{BR} \\ &= 1 \cdot \overrightarrow{BR} \\ &= \overrightarrow{BR} \end{aligned}

Damit gilt $\overrightarrow{BU} + \overrightarrow{UR} = \overrightarrow{BR}$ , passend zur Vektoraddition entlang der kollinearen Punkte $B$ , $U$ und $R$ .

In $\overrightarrow{BU} = 0{,}65 \cdot \overrightarrow{BR}$ und $\overrightarrow{UR} = 0{,}35 \cdot \overrightarrow{BR}$ sind die Faktoren $0{,}65$ und $0{,}35$ positiv. Deshalb zeigen beide Vektoren in dieselbe Richtung wie der Referenzvektor $\overrightarrow{BR}$ .

Damit haben $\overrightarrow{BR}$ , $\overrightarrow{BU}$ und $\overrightarrow{UR}$ dieselbe Richtung.

$Aufgabe 4$ . Der Vektor $\vec{p}$ hat den Betrag $5 \text{ Einheiten}$ , und es gilt $\vec{q} = 3\vec{p}$ . Den Betrag von $\vec{q}$ erhältst du, indem du den ursprünglichen Betrag mit dem $Betrag des Skalars$ multiplizierst.

Gegeben sind $|\vec{p}| = 5 \text{ Einheiten}$ und $\vec{q} = 3\vec{p}$ .

Für den Betrag von $\vec{q}$ verwenden wir die Betragsregel der Skalarmultiplikation:

\begin{aligned} |\vec{q}| &= |3\vec{p}| \\ &= |3| \cdot |\vec{p}| \\ &= 3 \cdot 5 \\ &= 15 \end{aligned}

Der Betrag von $\vec{q}$ ist somit $15 \text{ Einheiten}$ .

$Aufgabe 5$ . Die Punkte $A(2, 3, -1)$ und $B(5, -2, 4)$ sind gegeben. Der Punkt $C$ liegt auf der Geraden durch $A$ und $B$ , wobei $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$ gilt. Bestimme die Koordinaten von $C$ .

Für die $Verschiebung vom Anfangspunkt$ berechnen wir den Vektor $\overrightarrow{AB}$ :

\begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= B - A \\ &= (5, -2, 4) - (2, 3, -1) \\ &= (5-2, -2-3, 4-(-1)) \\ &= (3, -5, 5) \end{aligned}

Dann verwenden wir die Beziehung $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$ , um den Vektor $\overrightarrow{AC}$ zu bestimmen:

\begin{aligned} \overrightarrow{AC} &= 2\overrightarrow{AB} \\ &= 2(3, -5, 5) \\ &= (6, -10, 10) \end{aligned}

Nun bestimmen wir die Koordinaten des Punktes $C$ :

\overrightarrow{AC} = C - A

Damit hat der Punkt $C$ die Koordinaten $C(8, -7, 9)$ .

Wie ein reeller Faktor Betrag und Richtung verändert

Ist $k$ ein reeller Skalar und $\vec{v}$ ein Vektor, schreiben wir die Skalarmultiplikation als $k \cdot \vec{v}$ .

Eigenschaften der Skalarmultiplikation von Vektoren

Die Skalarmultiplikation verändert einen Vektor nach den folgenden Regeln:

Wenn $k > 0$ und der Ausgangsvektor nicht null ist, zeigt der Ergebnisvektor in dieselbe Richtung.
Wenn $k < 0$ und der Ausgangsvektor nicht null ist, zeigt der Ergebnisvektor in die entgegengesetzte Richtung.
Wenn $k = 0$ , dann ist der resultierende Vektor ein Nullvektor.
Der Betrag des Ergebnisvektors entsteht, indem der ursprüngliche Betrag mit $|k|$ multipliziert wird.

Das Diagramm verwendet $\vec v=(2,1)$ . $Endpunkt minus Anfangspunkt$ ergibt für die drei Pfeile $(2,1)$ , $(4,2)$ und $(-2,-1)$ .

Länge und Richtung beim Skalieren

Die Pfeilanfänge sind versetzt, damit du alle drei Vektoren vergleichen kannst. Ein positiver Faktor erhält die Richtung, ein negativer kehrt sie um.

Darstellung der Skalarmultiplikation von Vektoren

Betrag und Richtung eines skalierten Vektors

Geometrisch verändert die Multiplikation den Betrag eines Vektors um den Faktor $|k|$ . Für einen Vektor ungleich null hängt die Richtung vom $Vorzeichen$ von $k$ ab:

Wenn $k > 0$ , bleibt die Richtung des Vektors unverändert
Wenn $k < 0$ , ist die Richtung des Vektors entgegengesetzt zum ursprünglichen Vektor

In beiden Fällen und auch für $k=0$ gilt für den Betrag:

|k \cdot \vec{v}| = |k| \cdot |\vec{v}|

Einen Vektor komponentenweise skalieren

Multipliziere $jede Komponente mit demselben Faktor$ . Die Reihenfolge der Komponenten folgt weiterhin der Reihenfolge der Koordinatenachsen.

Wenn $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$ ein Vektor im $3$ -dimensionalen Raum ist, dann:

\begin{aligned} k \cdot \vec{v} &= k(v_1, v_2, v_3) \\ &= (k \cdot v_1, k \cdot v_2, k \cdot v_3) \end{aligned}

In Einheitsvektornotation:

\begin{aligned} k \cdot \vec{v} &= k(v_1\vec{i} + v_2\vec{j} + v_3\vec{k}) \\ &= k \cdot v_1\vec{i} + k \cdot v_2\vec{j} + k \cdot v_3\vec{k} \end{aligned}

Vektoren mit positiven und negativen Skalaren multiplizieren

Mit einem positiven Skalar multiplizieren

Gegeben ist der Vektor $\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j} + 5\vec{k}$ . Bestimme das Ergebnis der Multiplikation $2\vec{a}$ .

$Lösung$ :

\begin{aligned} 2\vec{a} &= 2(2\vec{i} + 3\vec{j} + 5\vec{k}) \\ &= 4\vec{i} + 6\vec{j} + 10\vec{k} \end{aligned}

Mit einem negativen Skalar multiplizieren

Gegeben ist der Vektor $\vec{v} = (4, -2, 3)$ . Bestimme das Ergebnis von $-3\vec{v}$ .

$Lösung$ :

\begin{aligned} -3\vec{v} &= -3(4, -2, 3) \\ &= (-12, 6, -9) \end{aligned}

Weil der Skalar negativ ist, zeigt der Ergebnisvektor in die entgegengesetzte Richtung.

Anwendungen der Skalarmultiplikation von Vektoren

Die Skalarmultiplikation von Vektoren hat viele Anwendungen in der Physik und Mathematik, wie zum Beispiel:

$Kraft und Beschleunigung$ : Wenn ein Objekt mit der Masse $m$ eine Beschleunigung $\vec{a}$ erfährt, dann beträgt die auf das Objekt wirkende Kraft $\vec{F} = m\vec{a}$ .
$Geschwindigkeit$ : Bewegt sich ein Körper während der Zeit $t$ mit der konstanten Geschwindigkeit $\vec{v}$ , dann ist seine Verschiebung $\vec{s} = t\vec{v}$ .
$Skalierung in Computergrafiken$ : Werden alle Ortsvektoren mit $k$ multipliziert, wird das Objekt um den Koordinatenursprung skaliert. Für eine Skalierung um ein anderes Zentrum $\vec{c}$ muss jeder Punkt $\vec{p}$ verschoben, skaliert und zurückverschoben werden: $\vec{p}'=\vec{c}+k(\vec{p}-\vec{c})$ .

Übungsaufgaben

Jede Aufgabe multipliziert einen Vektor mit einem oder zwei Skalaren. Multipliziere $jede Komponente mit demselben Faktor$ und fasse die Ergebnisse zusammen, wenn zwei Skalare auftreten.

Gegeben ist der Vektor $\vec{a} = 3\vec{i} - 4\vec{j} + 2\vec{k}$ . Bestimme $-2\vec{a}$ .
Gegeben sind die Vektoren $\vec{u} = (2, -5, 1)$ und $\vec{v} = (-4, 3, 6)$ . Bestimme den Vektor $2\vec{u} - 3\vec{v}$ .
Gegeben ist $|\overrightarrow{BR}| = 3{,}4 \text{ cm}$ . Wenn $\overrightarrow{BU} = 0{,}65 \cdot \overrightarrow{BR}$ und $\overrightarrow{UR} = 0{,}35 \cdot \overrightarrow{BR}$ , zeige, dass alle drei Vektoren dieselbe Richtung haben.
Der Vektor $\vec{p}$ hat den Betrag $5 \text{ Einheiten}$ , und es gilt $\vec{q} = 3\vec{p}$ . Bestimme den Betrag von $\vec{q}$ .
Die Punkte $A(2, 3, -1)$ und $B(5, -2, 4)$ sind gegeben. Der Punkt $C$ liegt auf der Geraden durch $A$ und $B$ , wobei $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$ gilt. Bestimme die Koordinaten von $C$ .

Lösungen

$Aufgabe 1$ . Gegeben ist der Vektor $\vec{a} = 3\vec{i} - 4\vec{j} + 2\vec{k}$ . Für $-2\vec{a}$ multiplizierst du jede Komponente mit demselben negativen Skalar.

\begin{aligned} -2\vec{a} &= -2(3\vec{i} - 4\vec{j} + 2\vec{k}) \\ &= -6\vec{i} + 8\vec{j} - 4\vec{k} \end{aligned}

Damit ist $-2\vec{a}$ gleich $-6\vec{i} + 8\vec{j} - 4\vec{k}$ .

\begin{aligned} 2\vec{u} &= 2(2, -5, 1) = (4, -10, 2) \\ 3\vec{v} &= 3(-4, 3, 6) = (-12, 9, 18) \\ 2\vec{u} - 3\vec{v} &= (4, -10, 2) - (-12, 9, 18) \\ &= (4 - (-12), -10 - 9, 2 - 18) \\ &= (4 + 12, -10 - 9, 2 - 18) \\ &= (16, -19, -16) \end{aligned}

Der Ergebnisvektor $2\vec{u} - 3\vec{v}$ hat also die Komponenten $(16, -19, -16)$ oder lautet in Einheitsvektorschreibweise $16\vec{i} - 19\vec{j} - 16\vec{k}$ .

Es genügt zu zeigen, dass beide Teilvektoren $positive skalare Vielfache$ desselben Referenzvektors sind.

Wir wissen:

$\overrightarrow{BU} = 0{,}65 \cdot \overrightarrow{BR}$
$\overrightarrow{UR} = 0{,}35 \cdot \overrightarrow{BR}$

Zunächst prüfen wir $\overrightarrow{BU} + \overrightarrow{UR} = \overrightarrow{BR}$ :

\begin{aligned} \overrightarrow{BU} + \overrightarrow{UR} &= 0{,}65 \cdot \overrightarrow{BR} + 0{,}35 \cdot \overrightarrow{BR} \\ &= (0{,}65 + 0{,}35) \cdot \overrightarrow{BR} \\ &= 1 \cdot \overrightarrow{BR} \\ &= \overrightarrow{BR} \end{aligned}

Damit gilt $\overrightarrow{BU} + \overrightarrow{UR} = \overrightarrow{BR}$ , passend zur Vektoraddition entlang der kollinearen Punkte $B$ , $U$ und $R$ .

Damit haben $\overrightarrow{BR}$ , $\overrightarrow{BU}$ und $\overrightarrow{UR}$ dieselbe Richtung.

Gegeben sind $|\vec{p}| = 5 \text{ Einheiten}$ und $\vec{q} = 3\vec{p}$ .

Für den Betrag von $\vec{q}$ verwenden wir die Betragsregel der Skalarmultiplikation:

\begin{aligned} |\vec{q}| &= |3\vec{p}| \\ &= |3| \cdot |\vec{p}| \\ &= 3 \cdot 5 \\ &= 15 \end{aligned}

Der Betrag von $\vec{q}$ ist somit $15 \text{ Einheiten}$ .

Für die $Verschiebung vom Anfangspunkt$ berechnen wir den Vektor $\overrightarrow{AB}$ :

\begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= B - A \\ &= (5, -2, 4) - (2, 3, -1) \\ &= (5-2, -2-3, 4-(-1)) \\ &= (3, -5, 5) \end{aligned}

Dann verwenden wir die Beziehung $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$ , um den Vektor $\overrightarrow{AC}$ zu bestimmen:

\begin{aligned} \overrightarrow{AC} &= 2\overrightarrow{AB} \\ &= 2(3, -5, 5) \\ &= (6, -10, 10) \end{aligned}

Nun bestimmen wir die Koordinaten des Punktes $C$ :

\overrightarrow{AC} = C - A

Damit hat der Punkt $C$ die Koordinaten $C(8, -7, 9)$ .