Zweidimensionaler Vektor

Vektoren aus waagerechten und senkrechten Anteilen zusammensetzen

Im kartesischen Koordinatensystem lässt sich jeder Punkt einer Ebene durch ein Zahlenpaar $(x, y)$ beschreiben. Dabei gibt $x$ die horizontale und $y$ die vertikale Position an. Der Koordinatenursprung ist $O(0, 0)$.

Zeichnen wir eine gerichtete Strecke vom Ursprung $O$ zu einem anderen Punkt, etwa $Q(x, y)$, erhalten wir einen Vektor. Er wird als $\overrightarrow{OQ}$ geschrieben. Sein Betrag ist die Länge der Strecke. Seine Richtung verläuft vom Anfangspunkt zur Pfeilspitze.

Zur Beschreibung der beiden Achsen verwenden wir Einheitsvektoren. Sie haben den Betrag $1 \text{ Einheit}$.

• $\mathbf{i}$ ist der Einheitsvektor entlang der positiven $x$-Achse (horizontal).
• $\mathbf{j}$ ist der Einheitsvektor entlang der positiven $y$-Achse (vertikal).

Der Vektor $\overrightarrow{OQ}$ setzt sich aus einer horizontalen Verschiebung um $x$ und einer vertikalen Verschiebung um $y$ zusammen. Mit Einheitsvektoren schreiben wir:

Komponenten und Betrag

Die Werte $x$ und $y$ in $\overrightarrow{OQ} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j}$ heißen Komponenten des Vektors.

• $x$ ist die horizontale skalare Komponente. Die zugehörige Vektorprojektion auf die $x$-Achse ist $x\mathbf{i}$.
• $y$ ist die vertikale skalare Komponente. Die zugehörige Vektorprojektion auf die $y$-Achse ist $y\mathbf{j}$.

Ein Vektor mit diesen beiden Komponenten ist ein zweidimensionaler Vektor.

Die Länge oder der Betrag von $\overrightarrow{OQ}$, geschrieben als $|\overrightarrow{OQ}|$, ist der Abstand vom Ursprung $O$ zum Endpunkt $Q$. Ist $Q(x,y)$ der Endpunkt und $R(x,0)$ die Projektion von $Q$ auf die $x$-Achse, liefert das rechtwinklige Dreieck $ORQ$ mit dem Satz des Pythagoras den Betrag:

Zweidimensionalen Vektor visualisieren

Die folgende Darstellung verbindet den Vektor mit seinen Komponenten und seinem Betrag in der kartesischen Ebene:

Die Darstellung zeigt alle drei Koordinatenachsen. Der Vektor liegt in der $xy$-Ebene, daher ist seine $z$-Komponente $0$.

In der Darstellung gilt:

• Der Vektor $\overrightarrow{OQ}$ (hellgrün) hat den Anfangspunkt $O(0,0)$ und den Endpunkt $Q(4,3)$
• Die $x$-Komponente (türkis) ist die Projektion des Vektors $\overrightarrow{OQ}$ auf die $x$-Achse, also $4\mathbf{i}$
• Die $y$-Komponente (gelb) ist die Projektion des Vektors $\overrightarrow{OQ}$ auf die $y$-Achse, also $3\mathbf{j}$

Berechne den Betrag des Vektors aus den beiden Komponenten im Diagramm:

Ein Einheitsvektor mit derselben Richtung

Für die Länge eins teilst du jede Komponente durch den Betrag des Vektors. Die Richtung bleibt erhalten, weil der Divisor positiv ist:

Die neuen Komponenten stehen im selben Verhältnis wie die ursprünglichen Komponenten. Mit Pythagoras prüfen wir den Betrag des Einheitsvektors: