Dreidimensionaler Vektor

Vektoren entlang dreier Koordinatenachsen beschreiben

Ein dreidimensionaler Vektor wird durch $drei Koordinatenkomponenten$ beschrieben. Sie geben die Verschiebungen entlang der $x$ -, $y$ - und $z$ -Achse an. Ein Vektor ungleich null hat einen Betrag und eine Richtung. Der Nullvektor besitzt keine geometrische Richtung.

Vektor im dreidimensionalen Raum

Darstellung eines Vektors im Raum mit den Komponenten

x

y

, und

z

Darstellung dreidimensionaler Vektoren

Die $z$ -Achse steht senkrecht auf der $xy$ -Ebene. In diesem kartesischen System folgt die $Reihenfolge der Komponenten$ stets der $x$ -, dann der $y$ - und schließlich der $z$ -Achse.

Die dritte Komponente von $(3,4,2)$ beträgt beispielsweise $2$ . Sie muss auf dem Bildschirm nicht als senkrechte Höhe erscheinen.

Notation dreidimensionaler Vektoren

Dreidimensionale Vektoren lassen sich auf verschiedene Arten schreiben:

Buchstabennotation mit einem Pfeil darüber: $\vec{a}$ oder $\overrightarrow{PQ}$
Komponentennotation: $(a_x, a_y, a_z)$ oder $(a_1, a_2, a_3)$
Basisnotation: $a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}$

Für den Vektor im ersten Diagramm beschreiben diese drei Komponentenschreibweisen $dieselbe Verschiebung$ :

\vec v=(3,4,2)=\begin{pmatrix}3\\4\\2\end{pmatrix}=3\vec i+4\vec j+2\vec k

Komponenten dreidimensionaler Vektoren

Ein Vektor im Raum besitzt $drei skalare Koordinatenkomponenten$ . Multiplizieren wir jeden Skalar mit dem Einheitsvektor seiner Achse, erhalten wir die zugehörige Vektorprojektion:

\vec{a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}

Die Komponenten in dieser Form bedeuten:

$a_x$ ist die skalare Komponente entlang der $x$ -Achse, $a_x\vec{i}$ die zugehörige Vektorprojektion
$a_y$ ist die skalare Komponente entlang der $y$ -Achse, $a_y\vec{j}$ die zugehörige Vektorprojektion
$a_z$ ist die skalare Komponente entlang der $z$ -Achse, $a_z\vec{k}$ die zugehörige Vektorprojektion
$\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ sind die Einheitsvektoren auf der $x$ -, $y$ - und $z$ -Achse

Komponenten eines dreidimensionalen Vektors

Dreidimensionaler Vektor mit Komponenten auf der

x

y

- und

z

-Achse.

Betrag dreidimensionaler Vektoren

Der Betrag oder die Länge eines dreidimensionalen Vektors $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ wird mit folgender Formel berechnet:

|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}

$Beispiel$ :

Für $\vec{a} = (3, 4, 5)$ ergibt sich der Betrag von $\vec{a}$ zu:

\begin{aligned} |\vec{a}| &= \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} \\ &= \sqrt{9 + 16 + 25} \\ &= \sqrt{50} \\ &= 5\sqrt{2} \end{aligned}

Operationen auf dreidimensionalen Vektoren

Bei Addition und Subtraktion verbindest du $Komponenten derselben Achse$ . Bei der skalaren Multiplikation multiplizierst du jede Komponente mit derselben Zahl. Achte auch auf die Art des Ergebnisses: Das Skalarprodukt ergibt eine Zahl, das Kreuzprodukt einen Vektor.

Addition und Subtraktion von Vektoren

Die Addition und Subtraktion dreidimensionaler Vektoren erfolgt durch Addition oder Subtraktion der $entsprechenden Komponenten$ .

Für $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ und $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$ gilt:

\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z)

Vektoraddition in drei Dimensionen

Die Addition der Vektoren

a

und

b

ergibt den Vektor

c = a + b

Skalare Multiplikation von Vektoren

Die Multiplikation eines Skalars $k$ mit einem Vektor $\vec{a}$ vervielfacht dessen Betrag mit $|k|$ . Ist $\vec{a}$ nicht null, bleibt die Richtung für $k > 0$ gleich und $kehrt sich$ für $k < 0$ um.

k\vec{a} = (k \cdot a_x, k \cdot a_y, k \cdot a_z)

Skalare Multiplikation eines Vektors

Darstellung der Skalarmultiplikation mit

k

für den Vektor

a

, wobei

k = 2

gilt.

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist $eine Zahl$ und wird so berechnet:

\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} &= a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \\ &= |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \end{aligned}

Für diese Winkelformel müssen beide Vektoren ungleich null sein. Das Symbol $\theta$ bezeichnet den Winkel zwischen ihren Richtungen.

Das Skalarprodukt hat folgende Eigenschaften:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ (kommutativ)
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ genau dann, wenn $\vec{a}$ und $\vec{b}$ orthogonal sind. Sind beide nicht null, stehen ihre geometrischen Richtungen senkrecht aufeinander
$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$

Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist ein Vektor, dessen Skalarprodukt mit jedem Faktor null ist:

(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a}=(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b}=0

Der Betrag des Kreuzprodukts beträgt:

|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta

Für diese Winkelformel müssen beide Vektoren ungleich null sein. Das Symbol $\theta$ bezeichnet den Winkel zwischen ihren Richtungen.

Wenn $\vec{a}\times\vec{b}\neq\vec{0}$ gilt, steht seine Richtung senkrecht auf beiden Faktoren und folgt der Rechte-Hand-Regel von $\vec{a}$ zu $\vec{b}$ . Ist einer der Faktoren der Nullvektor oder sind beide Faktoren parallel, ist das Kreuzprodukt $\vec{0}$ und besitzt deshalb keine geometrische Richtung.

Kreuzprodukt von Vektoren

Die Rechte-Hand-Richtung von

\vec{a}\times\vec{b}

, senkrecht zu beiden nicht parallelen Vektoren.

Im Diagramm gilt $\vec a=(2,0,0)$ und $\vec b=(0,2,0)$ . Die Vektoren stehen $senkrecht aufeinander$ , deshalb ist ihr Skalarprodukt null:

\vec a\cdot\vec b=2\cdot0+0\cdot2+0\cdot0=0

Das Kreuzprodukt liefert dagegen einen Vektor. Setze die Komponenten beider Vektoren in die Formel ein:

\begin{aligned}\vec a\times\vec b&=(0\cdot0-0\cdot2,\;0\cdot0-2\cdot0,\;2\cdot2-0\cdot0)\\&=(0,0,4)\end{aligned}

Das Ergebnis zeigt wie der grüne Pfeil entlang der positiven $z$ -Achse. Sein Betrag $4$ entspricht dem Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen $2$ und $2$ .

Anwendungen dreidimensionaler Vektoren

In der Robotik gibt ein Verschiebungsvektor an, $wie weit sich ein Roboterarm entlang jeder Achse bewegen soll$ . Die Spitze des Arms startet beispielsweise bei $P(1,2,0)$ und soll $Q(3,4,2)$ erreichen:

\overrightarrow{PQ}=Q-P=(3-1,4-2,2-0)=(2,2,2)

Die Verschiebung entlang jeder Achse beträgt $2$ Einheiten. Der Betrag der geradlinigen Verschiebung unterscheidet sich von der Summe der Komponenten:

|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{2^2+2^2+2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt3

Computergrafik und Navigation verwenden dieselben Rechnungen für Positionen und Verschiebungen. In der Physik können die Komponenten Kraft, Geschwindigkeit, Beschleunigung oder Impuls beschreiben. Im Maschinenbau helfen Vektoren bei der Untersuchung von Kräften in Tragwerken und von Fluidströmungen. Bedeutung und Einheit der Komponenten richten sich nach der dargestellten Größe.

Vektoren entlang dreier Koordinatenachsen beschreiben

Vektor im dreidimensionalen Raum

Darstellung eines Vektors im Raum mit den Komponenten

x

y

, und

z

Darstellung dreidimensionaler Vektoren

Die $z$ -Achse steht senkrecht auf der $xy$ -Ebene. In diesem kartesischen System folgt die $Reihenfolge der Komponenten$ stets der $x$ -, dann der $y$ - und schließlich der $z$ -Achse.

Die dritte Komponente von $(3,4,2)$ beträgt beispielsweise $2$ . Sie muss auf dem Bildschirm nicht als senkrechte Höhe erscheinen.

Notation dreidimensionaler Vektoren

Dreidimensionale Vektoren lassen sich auf verschiedene Arten schreiben:

Buchstabennotation mit einem Pfeil darüber: $\vec{a}$ oder $\overrightarrow{PQ}$
Komponentennotation: $(a_x, a_y, a_z)$ oder $(a_1, a_2, a_3)$
Basisnotation: $a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}$

Für den Vektor im ersten Diagramm beschreiben diese drei Komponentenschreibweisen $dieselbe Verschiebung$ :

\vec v=(3,4,2)=\begin{pmatrix}3\\4\\2\end{pmatrix}=3\vec i+4\vec j+2\vec k

Komponenten dreidimensionaler Vektoren

Ein Vektor im Raum besitzt $drei skalare Koordinatenkomponenten$ . Multiplizieren wir jeden Skalar mit dem Einheitsvektor seiner Achse, erhalten wir die zugehörige Vektorprojektion:

\vec{a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}

Die Komponenten in dieser Form bedeuten:

$a_x$ ist die skalare Komponente entlang der $x$ -Achse, $a_x\vec{i}$ die zugehörige Vektorprojektion
$a_y$ ist die skalare Komponente entlang der $y$ -Achse, $a_y\vec{j}$ die zugehörige Vektorprojektion
$a_z$ ist die skalare Komponente entlang der $z$ -Achse, $a_z\vec{k}$ die zugehörige Vektorprojektion
$\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ sind die Einheitsvektoren auf der $x$ -, $y$ - und $z$ -Achse

Komponenten eines dreidimensionalen Vektors

Dreidimensionaler Vektor mit Komponenten auf der

x

y

- und

z

-Achse.

Betrag dreidimensionaler Vektoren

Der Betrag oder die Länge eines dreidimensionalen Vektors $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ wird mit folgender Formel berechnet:

|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}

$Beispiel$ :

Für $\vec{a} = (3, 4, 5)$ ergibt sich der Betrag von $\vec{a}$ zu:

\begin{aligned} |\vec{a}| &= \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} \\ &= \sqrt{9 + 16 + 25} \\ &= \sqrt{50} \\ &= 5\sqrt{2} \end{aligned}

Operationen auf dreidimensionalen Vektoren

Addition und Subtraktion von Vektoren

Die Addition und Subtraktion dreidimensionaler Vektoren erfolgt durch Addition oder Subtraktion der $entsprechenden Komponenten$ .

Für $\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)$ und $\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)$ gilt:

\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z)

Vektoraddition in drei Dimensionen

Die Addition der Vektoren

a

und

b

ergibt den Vektor

c = a + b

Skalare Multiplikation von Vektoren

k\vec{a} = (k \cdot a_x, k \cdot a_y, k \cdot a_z)

Skalare Multiplikation eines Vektors

Darstellung der Skalarmultiplikation mit

k

für den Vektor

a

, wobei

k = 2

gilt.

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist $eine Zahl$ und wird so berechnet:

\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} &= a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \\ &= |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \end{aligned}

Für diese Winkelformel müssen beide Vektoren ungleich null sein. Das Symbol $\theta$ bezeichnet den Winkel zwischen ihren Richtungen.

Das Skalarprodukt hat folgende Eigenschaften:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ (kommutativ)
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ genau dann, wenn $\vec{a}$ und $\vec{b}$ orthogonal sind. Sind beide nicht null, stehen ihre geometrischen Richtungen senkrecht aufeinander
$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$

Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist ein Vektor, dessen Skalarprodukt mit jedem Faktor null ist:

(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{a}=(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{b}=0

Der Betrag des Kreuzprodukts beträgt:

|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta

Für diese Winkelformel müssen beide Vektoren ungleich null sein. Das Symbol $\theta$ bezeichnet den Winkel zwischen ihren Richtungen.

Kreuzprodukt von Vektoren

Die Rechte-Hand-Richtung von

\vec{a}\times\vec{b}

, senkrecht zu beiden nicht parallelen Vektoren.

Im Diagramm gilt $\vec a=(2,0,0)$ und $\vec b=(0,2,0)$ . Die Vektoren stehen $senkrecht aufeinander$ , deshalb ist ihr Skalarprodukt null:

\vec a\cdot\vec b=2\cdot0+0\cdot2+0\cdot0=0

Das Kreuzprodukt liefert dagegen einen Vektor. Setze die Komponenten beider Vektoren in die Formel ein:

\begin{aligned}\vec a\times\vec b&=(0\cdot0-0\cdot2,\;0\cdot0-2\cdot0,\;2\cdot2-0\cdot0)\\&=(0,0,4)\end{aligned}

Das Ergebnis zeigt wie der grüne Pfeil entlang der positiven $z$ -Achse. Sein Betrag $4$ entspricht dem Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen $2$ und $2$ .

Anwendungen dreidimensionaler Vektoren

\overrightarrow{PQ}=Q-P=(3-1,4-2,2-0)=(2,2,2)

Die Verschiebung entlang jeder Achse beträgt $2$ Einheiten. Der Betrag der geradlinigen Verschiebung unterscheidet sich von der Summe der Komponenten:

|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{2^2+2^2+2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt3