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Ein Einheitsvektor hat den Betrag . Er beschreibt eine Richtung, ohne den ursprünglichen Betrag mitzunehmen. Aus jedem Vektor ungleich null erhalten wir einen Einheitsvektor in derselben Richtung, indem wir den Vektor durch seinen Betrag teilen.
Betrachten wir den Vektor in einem kartesischen Koordinatensystem. Sein Einheitsvektor entsteht, indem wir durch den Betrag von teilen.
Dabei ist der Betrag des Vektors .
Der Einheitsvektor zeigt in dieselbe Richtung wie der ursprüngliche Vektor, hat aber den normierten Betrag .
So bestimmst du den Einheitsvektor eines gegebenen Vektors:
Gegeben ist der Vektor .
Zuerst berechnen wir seinen Betrag:
Anschließend teilen wir den Vektor durch diesen Betrag:
Damit erhalten wir:
Ein Einheitsvektor hat immer den Betrag . Für das Beispiel lässt sich das direkt nachrechnen:
Im dreidimensionalen Koordinatensystem gibt es drei Standardeinheitsvektoren, die jeweils in die positive Richtung einer Koordinatenachse zeigen:
Jeder Vektor in kann als lineare Kombination dieser drei Einheitsvektoren ausgedrückt werden.
Einheitsvektoren beschreiben eine Richtung unabhängig vom Betrag. In der Physik geben sie zum Beispiel die Richtung einer Kraft, Geschwindigkeit oder Beschleunigung an.
Einheitsvektoren helfen außerdem dabei, einen Vektor in seine Komponenten zu zerlegen. Eine Kraft lässt sich so in Anteile entlang der -, - und -Achse aufteilen.
