Gegenvektoren verstehen
Für einen Vektor ungleich null hat sein denselben Betrag, zeigt aber genau in die entgegengesetzte Richtung. Er wird als geschrieben.
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Für einen Vektor ungleich null hat sein denselben Betrag, zeigt aber genau in die entgegengesetzte Richtung. Er wird als geschrieben.
Beschreibt eine Verschiebung von links nach rechts, dann beschreibt eine gleich lange Verschiebung von rechts nach links. Die beiden Vektoren unterscheiden sich in ihrer Richtung, nicht in ihrer Länge.
Die Multiplikation mit dem Skalar kehrt das Vorzeichen jeder Komponente um:
Gilt , dann ist:
Dabei gilt:
Gegeben sei .
Sein Betrag ist:
Für den Gegenvektor multiplizieren wir jede Komponente mit :
Beide Vektoren haben den Betrag , ihre Richtungen unterscheiden sich jedoch um .
Ihre Beträge sind gleich:
Bei einem Vektor ungleich null unterscheiden sich ihre Richtungen um .
Ihre Summe ist der Nullvektor:
Der Gegenvektor des Gegenvektors ist wieder der ursprüngliche Vektor:
Der Nullvektor ist sein eigener Gegenvektor, denn .
Gegenvektoren treten immer dann auf, wenn eine Richtung umgekehrt wird:
Verschiebung: Der Rückweg auf derselben geraden Strecke besitzt den entgegengesetzten Verschiebungsvektor.
Kräftegleichgewicht: Zwei gleich große, entgegengesetzt gerichtete Kräfte ergeben zusammen den Nullvektor.
Vektorgleichungen: Eine Subtraktion lässt sich als Addition eines Gegenvektors schreiben, .
Für einen Vektor ungleich null ist der zugehörige Einheitsvektor:
Er hat den Betrag und zeigt in dieselbe Richtung wie .
Der Einheitsvektor in Gegenrichtung ist . Multiplizieren wir ihn mit dem ursprünglichen Betrag, erhalten wir den Gegenvektor:
Damit sind die Rollen klar getrennt: bestimmt die Länge, während die entgegengesetzte Richtung festlegt.