Nullvektor

Anfangspunkt und Endpunkt fallen zusammen

Der Nullvektor hat den Betrag null und keine definierte Richtung. Sein Anfangs- und Endpunkt fallen zusammen, sodass sein Pfeil in einer geometrischen Zeichnung zu einem einzigen Punkt schrumpft.

Der Nullvektor wird mit $\vec{0}$ bezeichnet, also mit der Zahl $0$ und einem Pfeil darüber.

Eigenschaften des Nullvektors

Der Nullvektor besitzt einige besondere Eigenschaften:

1. Er ist das neutrale Element der Vektoraddition. Ist $\vec{a}$ ein beliebiger Vektor, dann gilt $\vec{a} + \vec{0} = \vec{a}$

2. Sein Betrag ist null: $|\vec{0}| = 0$

3. Er kann nicht normiert werden, weil die Division durch seinen Betrag null nicht definiert ist.

4. Jeder Vektorraum besitzt genau ein additives neutrales Element. Sein Nullvektor ist daher eindeutig.

5. Für jeden Vektor $\vec{v}$ gilt $\vec{0} \cdot \vec{v} = 0$. Damit erfüllt der Nullvektor die algebraische Skalarproduktbedingung für Orthogonalität. Da er keine Richtung besitzt, sollte man ihm jedoch keine geometrisch parallele Richtung zuschreiben.

6. Die Multiplikation mit einem beliebigen reellen Skalar ergibt wieder den Nullvektor: $k \cdot \vec{0} = \vec{0}$

Darstellung des Nullvektors

Jede kartesische Komponente des Nullvektors ist null, deshalb hat er den Betrag null und keine Richtung. Die Aufstellung unten zeigt seine Koordinaten im ein-, zwei- und dreidimensionalen Raum.

• Im $1$-dimensionalen Raum: $\vec{0} = (0)$
• Im $2$-dimensionalen Raum: $\vec{0} = (0, 0)$
• Im $3$-dimensionalen Raum: $\vec{0} = (0, 0, 0)$

Rückkehr zur Ausgangsposition

Eine Person, die an ihren Ausgangspunkt zurückkehrt, hat insgesamt die Verschiebung null. Ein Beispiel macht den Unterschied zwischen Wegstrecke und Verschiebung deutlich:

Andi geht $100 \text{ m}$ nach Osten und anschließend $100 \text{ m}$ nach Westen. Seine Wegstrecke beträgt $200 \text{ m}$. Weil Anfangs- und Endposition übereinstimmen, ist seine Verschiebung dennoch null.

Wähle Osten als positive Richtung und die Anfangsposition als $0\text{ m}$. Die Wegstrecke wächst auch auf dem Rückweg, während die Position wieder den Anfangswert erreicht.

Nullvektor in Vektoroperationen

Sowohl das Addieren als auch das Subtrahieren des Nullvektors lässt den ursprünglichen Vektor unverändert. Bei der Subtraktion zählt die Reihenfolge: Ziehst du einen Vektor vom Nullvektor ab, erhältst du seinen Gegenvektor.

Addition mit Nullvektor

Für einen beliebigen Vektor $\vec{a}$ gilt:

Der Nullvektor verändert den addierten Vektor also nicht.

Subtraktion mit Nullvektor

Beim Abziehen des Nullvektors bleibt der ursprüngliche Vektor unverändert. Vertauschst du die Reihenfolge, erhältst du seinen Gegenvektor.

Für jeden Vektor $\vec{a}$:

Skalare Multiplikation mit Nullvektor

Jede Nullkomponente bleibt nach der Multiplikation null. Das Ergebnis ist daher weiterhin der Nullvektor, unabhängig vom Skalar.

Für jeden Skalar $k$:

Anwendungen des Nullvektors

Der Nullvektor tritt in den folgenden Zusammenhängen auf:

1. In einem homogenen linearen Gleichungssystem ist der Nullvektor stets die triviale Lösung.
2. In der Physik bedeutet eine resultierende Kraft von null bei einem Körper mit einer Masse ungleich null, dass die Beschleunigung null ist. In einem Inertialsystem bleibt der Körper deshalb in Ruhe oder bewegt sich nach dem ersten Newtonschen Gesetz mit konstanter Geschwindigkeit weiter.
3. In der Computergrafik steht der Nullvektor für keine Verschiebung. Als Translationsvektor lässt er eine Position daher unverändert.