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Jeder Vektor, der nicht der Nullvektor ist, besitzt zwei kennzeichnende Eigenschaften: Betrag und Richtung. Der Nullvektor ist der Sonderfall, den wir später betrachten.
Betrachte den Vektor in der folgenden Abbildung.
Für einen Vektor ungleich null hat sein negativer Vektor, auch Gegenvektor genannt, denselben Betrag, aber die entgegengesetzte Richtung.
Stell dir vor, Andi geht in einem Winkel von . Wir nennen diese Verschiebung . Geht Andi anschließend auf demselben Weg direkt zurück, ist die Rückbewegung der Gegenvektor von . Wir schreiben ihn als .
Der Nullvektor ist ein besonderer Vektor mit dem Betrag null. Da seine Länge null ist, besitzt er keine eindeutig bestimmte Richtung.
Wir können den Nullvektor als einen Punkt darstellen, an dem Anfangs- und Endpunkt zusammenfallen. Üblicherweise schreiben wir ihn als .
Beispiel:
Geht Andi nach Osten und anschließend auf demselben Weg nach Westen zurück, ist die gesamte Verschiebung null. Sie wird durch den Nullvektor dargestellt.
Zwei Vektoren sind gleich, wenn ihre entsprechenden Komponenten gleich sind. Ihre Anfangspunkte dürfen dabei verschieden sein. Für Vektoren ungleich null ist dies gleichbedeutend mit demselben Betrag und derselben Richtung. Die Komponentendefinition erfasst auch den Nullvektor, dessen Richtung nicht definiert ist.
Die folgende Abbildung zeigt drei gleiche Vektoren: , und .
Die drei Vektoren haben denselben Betrag und dieselbe Richtung. Deshalb können wir schreiben:
Ihre Anfangspunkte unterscheiden sich, doch jeder Pfeil führt drei Einheiten nach rechts und zwei Einheiten nach oben. Alle drei haben daher denselben Komponentenvektor .
Betrachte die beiden folgenden Vektoren:
Ist der Vektor der Gegenvektor von ?
Antwort:
Der Vektor ist nicht der Gegenvektor von . Prüfen wir die beiden notwendigen Bedingungen:
Weil die zweite Bedingung nicht erfüllt ist, ist nicht der Gegenvektor von .
Wie werden und zu Gegenvektoren?
Wenn unverändert bleibt, wird durch eine Änderung des Endpunkts von zum Gegenvektor:
