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Der Nullvektor besitzt einige besondere Eigenschaften:
Er ist das neutrale Element der Vektoraddition. Ist ein beliebiger Vektor, dann gilt
Sein Betrag ist null:
Er kann nicht normiert werden, weil die Division durch seinen Betrag null nicht definiert ist.
Jeder Vektorraum besitzt genau ein additives neutrales Element. Sein Nullvektor ist daher eindeutig.
Für jeden Vektor gilt . Damit erfüllt der Nullvektor die algebraische Skalarproduktbedingung für Orthogonalität. Da er keine Richtung besitzt, sollte man ihm jedoch keine geometrisch parallele Richtung zuschreiben.
Die Multiplikation mit einem beliebigen reellen Skalar ergibt wieder den Nullvektor:
Jede kartesische Komponente des Nullvektors ist null, deshalb hat er den Betrag null und keine Richtung. Die Aufstellung unten zeigt seine Koordinaten im ein-, zwei- und dreidimensionalen Raum.
Eine Person, die an ihren Ausgangspunkt zurückkehrt, hat insgesamt die Verschiebung null. Ein Beispiel macht den Unterschied zwischen Wegstrecke und Verschiebung deutlich:
Andi geht nach Osten und anschließend nach Westen. Seine Wegstrecke beträgt . Weil Anfangs- und Endposition übereinstimmen, ist seine Verschiebung dennoch null.
Wähle Osten als positive Richtung und die Anfangsposition als . Die Wegstrecke wächst auch auf dem Rückweg, während die Position wieder den Anfangswert erreicht.
| Etappe | Position relativ zum Start | Zurückgelegte Wegstrecke |
|---|---|---|
| Start | ||
| Nach dem Weg nach Osten | ||
| Nach der Rückkehr nach Westen |
Sowohl das Addieren als auch das Subtrahieren des Nullvektors lässt den ursprünglichen Vektor unverändert. Bei der Subtraktion zählt die Reihenfolge: Ziehst du einen Vektor vom Nullvektor ab, erhältst du seinen Gegenvektor.
Für einen beliebigen Vektor gilt:
Der Nullvektor verändert den addierten Vektor also nicht.
Beim Abziehen des Nullvektors bleibt der ursprüngliche Vektor unverändert. Vertauschst du die Reihenfolge, erhältst du seinen Gegenvektor.
Für jeden Vektor :
Jede Nullkomponente bleibt nach der Multiplikation null. Das Ergebnis ist daher weiterhin der Nullvektor, unabhängig vom Skalar.
Für jeden Skalar :
Der Nullvektor tritt in den folgenden Zusammenhängen auf:
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