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Ist ein reeller Skalar und ein Vektor, schreiben wir die Skalarmultiplikation als .
Die Skalarmultiplikation verändert einen Vektor nach den folgenden Regeln:
Das Diagramm verwendet . Endpunkt minus Anfangspunkt ergibt für die drei Pfeile , und .
Der Betrag des Skalars bestimmt die neue Länge. Sein Vorzeichen entscheidet, ob die Richtung gleich bleibt oder sich umkehrt. Die Multiplikation mit null ergibt den Nullvektor, der keine Richtung besitzt.
Geometrisch verändert die Multiplikation den Betrag eines Vektors um den Faktor . Für einen Vektor ungleich null hängt die Richtung vom Vorzeichen von ab:
In beiden Fällen und auch für gilt für den Betrag:
Multipliziere jede Komponente mit demselben Faktor. Die Reihenfolge der Komponenten folgt weiterhin der Reihenfolge der Koordinatenachsen.
Wenn ein Vektor im -dimensionalen Raum ist, dann:
In Einheitsvektornotation:
Ein Faktor größer als eins verlängert den Vektor, ein Faktor zwischen null und eins verkürzt ihn, und ein negativer Faktor dreht zusätzlich die Richtung um. Diese Richtungsaussagen gelten für einen Ausgangsvektor ungleich null. Der Nullvektor bleibt bei Multiplikation mit jedem Skalar null und hat keine definierte Richtung.
Gegeben ist der Vektor . Bestimme das Ergebnis der Multiplikation .
Lösung:
Gegeben ist der Vektor . Bestimme das Ergebnis von .
Lösung:
Weil der Skalar negativ ist, zeigt der Ergebnisvektor in die entgegengesetzte Richtung.
Die Skalarmultiplikation von Vektoren hat viele Anwendungen in der Physik und Mathematik, wie zum Beispiel:
Kraft und Beschleunigung: Wenn ein Objekt mit der Masse eine Beschleunigung erfährt, dann beträgt die auf das Objekt wirkende Kraft .
Geschwindigkeit: Bewegt sich ein Körper während der Zeit mit der konstanten Geschwindigkeit , dann ist seine Verschiebung .
Skalierung in Computergrafiken: Werden alle Ortsvektoren mit multipliziert, wird das Objekt um den Koordinatenursprung skaliert. Für eine Skalierung um ein anderes Zentrum muss jeder Punkt verschoben, skaliert und zurückverschoben werden: .
Jede Aufgabe multipliziert einen Vektor mit einem oder zwei Skalaren. Multipliziere jede Komponente mit demselben Faktor und fasse die Ergebnisse zusammen, wenn zwei Skalare auftreten.
Gegeben ist der Vektor . Bestimme .
Gegeben sind die Vektoren und . Bestimme den Vektor .
Gegeben ist . Wenn und , zeige, dass alle drei Vektoren dieselbe Richtung haben.
Der Vektor hat den Betrag , und es gilt . Bestimme den Betrag von .
Die Punkte und sind gegeben. Der Punkt liegt auf der Geraden durch und , wobei gilt. Bestimme die Koordinaten von .
Jede Lösung multipliziert alle Komponenten mit demselben Faktor und fasst anschließend die Komponenten derselben Achse zusammen. Ein negativer Faktor mal eine negative Komponente ergibt eine positive Komponente. Einen Endpunkt erhältst du, indem du den Verschiebungsvektor zum Anfangspunkt addierst.
Aufgabe 1. Gegeben ist der Vektor . Für multiplizierst du jede Komponente mit demselben negativen Skalar.
Damit ist gleich .
Aufgabe 2. Gegeben sind die Vektoren und . Für berechnest du beide Vielfachen und subtrahierst anschließend die entsprechenden Komponenten.
Der Ergebnisvektor hat also die Komponenten oder lautet in Einheitsvektorschreibweise .
Aufgabe 3. Gegeben ist . Wenn und , zeige, dass alle drei Vektoren dieselbe Richtung haben.
Es genügt zu zeigen, dass beide Teilvektoren positive skalare Vielfache desselben Referenzvektors sind.
Wir wissen:
Zunächst prüfen wir :
Damit gilt , passend zur Vektoraddition entlang der kollinearen Punkte , und .
In und sind die Faktoren und positiv. Deshalb zeigen beide Vektoren in dieselbe Richtung wie der Referenzvektor .
Damit haben , und dieselbe Richtung.
Aufgabe 4. Der Vektor hat den Betrag , und es gilt . Den Betrag von erhältst du, indem du den ursprünglichen Betrag mit dem Betrag des Skalars multiplizierst.
Gegeben sind und .
Für den Betrag von verwenden wir die Betragsregel der Skalarmultiplikation:
Der Betrag von ist somit .
Aufgabe 5. Die Punkte und sind gegeben. Der Punkt liegt auf der Geraden durch und , wobei gilt. Bestimme die Koordinaten von .
Für die Verschiebung vom Anfangspunkt berechnen wir den Vektor :
Dann verwenden wir die Beziehung , um den Vektor zu bestimmen:
Nun bestimmen wir die Koordinaten des Punktes :
Damit hat der Punkt die Koordinaten .
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