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Das Wort „ODER“ verbindet die beiden Ereignisse. Mit der Additionsregel berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis eintritt, Ereignis eintritt oder beide eintreten, sofern eine Überschneidung möglich ist.
Zwei Fälle bestimmen, welche Formel gilt:
Der entscheidende Unterschied ist also, ob sich die beiden Ereignismengen überschneiden.
Gegenseitig ausschließende Ereignisse, auch disjunkte Ereignisse genannt, können nicht gemeinsam in einem Versuch auftreten.
Tritt Ereignis ein, tritt Ereignis nicht ein, und umgekehrt.
Beispiele:
Beim Werfen zweier Würfel: das Ereignis „Die Summe ist “ ODER das Ereignis „Pasch, also gleiche Augenzahl auf beiden Würfeln“.
| Ereignis | Ergebnispaare |
|---|---|
| Die Summe ist | , , , , , |
| Pasche | , , , , , |
Kein geordnetes Paar gehört zu beiden Gruppen. Die Ereignisse sind daher gegenseitig ausschließend.
Sind die Ereignisse und gegenseitig ausschließend, ist ihre Schnittmenge leer. Für „A ODER B“ werden deshalb nur die beiden Einzelwahrscheinlichkeiten addiert.
Rechenbeispiel:
Für den Versuch mit zwei Würfeln:
Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit für die Summe ODER einen Pasch:
Nicht gegenseitig ausschließende Ereignisse können gemeinsam in einem Versuch auftreten. Ihre Ergebnismengen haben also eine Schnittmenge.
Beispiele:
Beim Werfen zweier Würfel: das Ereignis „Die Summe ist “ ODER das Ereignis „einen Pasch würfeln“.
| Ereignis | Ergebnispaare |
|---|---|
| Die Summe ist | , , , , |
| Pasche | , , , , , |
Das Paar gehört zu beiden Gruppen. Die Ereignisse sind daher nicht gegenseitig ausschließend.
Warum reicht einfaches Addieren nicht aus?
Bei wird die Schnittmenge doppelt gezählt: einmal als Teil von und einmal als Teil von .
Im Beispiel „Summe ODER Pasch“ gilt:
Direktes Addieren ergibt . Das Paar liegt jedoch in beiden Gruppen. Seine Wahrscheinlichkeit muss einmal abgezogen werden, damit es insgesamt nur einmal zählt.
Für Ereignisse und , die sich nicht gegenseitig ausschließen, wird die Wahrscheinlichkeit von „A ODER B“ wie folgt berechnet:
Der Term ist die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge, in der und gemeinsam auftreten. Durch einmaliges Subtrahieren wird die Paschzählung korrigiert.
Rechenbeispiel:
Wir verwenden erneut das Beispiel „Summe ODER Pasch“:
Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit für die Summe ODER einen Pasch:
Die Bedeutung von „ODER“ in der Mathematik
In der Mathematik umfasst „ oder “ drei Möglichkeiten: nur , nur oder beide, wenn eine Schnittmenge existiert. Dieses „oder“ ist inklusiv. Im Alltag kann „oder“ dagegen manchmal genau eine von zwei Möglichkeiten meinen.
Die beiden Formeln unterscheiden sich in einer Frage, nämlich ob die Ereignisse im selben Versuch auftreten können. Die Tabelle ordnet jede Antwort der passenden Formel zu.
| Können die Ereignisse gemeinsam auftreten? | Formel |
|---|---|
| Nein, die Ereignisse überschneiden sich nicht | |
| Ja, die Ereignisse überschneiden sich |
Die zweite Formel zieht die Überschneidung ab, weil die Ergebnisse, die zu beiden Ereignissen gehören, doppelt gezählt wurden, einmal für und einmal für .
In einer Klasse mit Schülerinnen und Schülern gehören zur Mathematik-AG, zur Naturwissenschafts-AG und zu beiden Arbeitsgemeinschaften. Eine Person wird zufällig ausgewählt.
Aufgabe 1. Sei das Ereignis „gehört zur Mathematik-AG“ und das Ereignis „gehört zur Naturwissenschafts-AG“. Die Personen in beiden Arbeitsgemeinschaften sind in beiden Anzahlen enthalten. Bei würden sie deshalb doppelt gezählt. Die allgemeine Additionsregel korrigiert diese Doppelzählung:
Aufgabe 2. Außerhalb beider Arbeitsgemeinschaften bleiben Personen. Somit gilt:
Die beiden Wahrscheinlichkeiten ergeben . Damit ist geprüft, dass die Klasse vollständig in zwei komplementäre Gruppen zerlegt wurde: Personen in mindestens einer Arbeitsgemeinschaft und Personen in keiner der beiden.
Die Schnittmenge muss genau einmal abgezogen werden, weil sie bereits in beiden ursprünglichen Anzahlen enthalten ist. Diese Komplementkontrolle deckt eine ausgelassene oder doppelt gezählte Gruppe auf, bevor das Ergebnis übernommen wird.
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