Additionsregel

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens eines von zwei Ereignissen

Angenommen, wir fragen eine Schulklasse, wie jeder Schüler zur Schule gekommen ist. Anschließend wählen wir einen Schüler zufällig aus und suchen die Wahrscheinlichkeit, dass er mit dem $Fahrrad ODER Motorrad$ gekommen ist.

Das Wort $„ODER“$ verbindet die beiden Ereignisse. Mit der Additionsregel berechnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis $A$ eintritt, Ereignis $B$ eintritt oder beide eintreten, sofern eine Überschneidung möglich ist.

Zwei Fälle bestimmen, welche Formel gilt:

Die Ereignisse können nicht im selben Versuch auftreten. Sie sind $gegenseitig ausschließend$ .
Die Ereignisse können im selben Versuch auftreten. Sie sind $nicht gegenseitig ausschließend$ .

Der entscheidende Unterschied ist also, ob sich die beiden Ereignismengen überschneiden.

Gegenseitig ausschließende Ereignisse

Gegenseitig ausschließende Ereignisse, auch disjunkte Ereignisse genannt, können $nicht gemeinsam$ in einem Versuch auftreten.

Tritt Ereignis $A$ ein, tritt Ereignis $B$ nicht ein, und umgekehrt.

$Beispiele$ :

Ein Münzwurf ergibt entweder „Kopf“ oder „Zahl“, aber nie beides zugleich.
Zain ist mit dem Motorrad $ODER$ mit dem Fahrrad zur Schule gekommen, sofern jeder Schüler nur ein Verkehrsmittel genutzt hat.

Beim Werfen zweier Würfel: das Ereignis „Die Summe ist $7$ “ $ODER$ das Ereignis „Pasch, also gleiche Augenzahl auf beiden Würfeln“.

Ereignis	Ergebnispaare
Die Summe ist $7$	$(1,6)$ , $(2,5)$ , $(3,4)$ , $(4,3)$ , $(5,2)$ , $(6,1)$
Pasche	$(1,1)$ , $(2,2)$ , $(3,3)$ , $(4,4)$ , $(5,5)$ , $(6,6)$

Kein geordnetes Paar gehört zu beiden Gruppen. Die Ereignisse sind daher gegenseitig ausschließend.

Formel für sich gegenseitig ausschließende Ereignisse

Sind die Ereignisse $A$ und $B$ gegenseitig ausschließend, ist ihre Schnittmenge leer. Für „A ODER B“ werden deshalb nur die beiden Einzelwahrscheinlichkeiten addiert.

P(A \text{ oder } B) = P(A) + P(B)

$Rechenbeispiel$ :

Für den Versuch mit zwei Würfeln:

Wahrscheinlichkeit, dass die Summe $7$ ( $P(S=7)$ ) ist: Es gibt $6$ Paare aus der Gesamtmenge von $36$ , daher ist die Wahrscheinlichkeit $6/36$
Wahrscheinlichkeit für einen Pasch ( $P(\text{Pasch})$ ): Es gibt $6$ Paare unter insgesamt $36$ , also beträgt die Wahrscheinlichkeit $6/36$

Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit für die Summe $7$ ODER einen Pasch:

\begin{aligned}P(S=7\text{ oder Pasch}) &= P(S=7)+P(\text{Pasch}) \\ &= \frac{6}{36}+\frac{6}{36} \\ &= \frac{12}{36}=\frac{1}{3}\end{aligned}

Nicht gegenseitig ausschließende Ereignisse

Nicht gegenseitig ausschließende Ereignisse $können gemeinsam$ in einem Versuch auftreten. Ihre Ergebnismengen haben also eine Schnittmenge.

$Beispiele$ :

Beim Ziehen einer Karte aus einem Standardkartenspiel überschneiden sich die Ereignisse „ein Ass ziehen“ und „eine Herzkarte ziehen ( $\heartsuit$ )“ beim Herz-Ass ( $A\heartsuit$ ).

Beim Werfen zweier Würfel: das Ereignis „Die Summe ist $8$ “ $ODER$ das Ereignis „einen Pasch würfeln“.

Ereignis	Ergebnispaare
Die Summe ist $8$	$(2,6)$ , $(3,5)$ , $(4,4)$ , $(5,3)$ , $(6,2)$
Pasche	$(1,1)$ , $(2,2)$ , $(3,3)$ , $(4,4)$ , $(5,5)$ , $(6,6)$

Das Paar $(4,4)$ gehört zu beiden Gruppen. Die Ereignisse sind daher $nicht gegenseitig ausschließend$ .

Warum reicht einfaches Addieren nicht aus?

Bei $P(A) + P(B)$ wird die Schnittmenge doppelt gezählt: einmal als Teil von $A$ und einmal als Teil von $B$ .

Im Beispiel „Summe $8$ ODER Pasch“ gilt:

$P(S=8)$ : Es gibt $5$ Paare, daher beträgt die Wahrscheinlichkeit $5/36$
$P(\text{Pasch})$ sind $6$ Paare, nämlich $6/36$

Direktes Addieren ergibt $5/36 + 6/36 = 11/36$ . Das Paar $(4,4)$ liegt jedoch in beiden Gruppen. Seine Wahrscheinlichkeit muss einmal abgezogen werden, damit es insgesamt nur einmal zählt.

Formel für sich nicht gegenseitig ausschließende Ereignisse

Für Ereignisse $A$ und $B$ , die sich nicht gegenseitig ausschließen, wird die Wahrscheinlichkeit von „A ODER B“ wie folgt berechnet:

P(A \text{ oder } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ und } B)

Der Term $P(A \text{ und } B)$ ist die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge, in der $A$ und $B$ gemeinsam auftreten. Durch einmaliges Subtrahieren wird $die Paschzählung korrigiert$ .

$Rechenbeispiel$ :

Wir verwenden erneut das Beispiel „Summe $8$ ODER Pasch“:

$P(S=8) = 5/36$
$P(\text{Pasch}) = 6/36$
Das Ereignis „Summe $8$ UND Pasch“ ( $P(S=8 \text{ und Pasch})$ ) enthält genau ein Ergebnis: das Paar $(4, 4)$ . Seine Wahrscheinlichkeit beträgt $1/36$ .

Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit für die Summe $8$ ODER einen Pasch:

\begin{aligned}P(S=8\text{ oder Pasch}) &= P(S=8)+P(\text{Pasch}) \\ &\quad-P(S=8\text{ und Pasch}) \\ &= \frac{5}{36}+\frac{6}{36}-\frac{1}{36} \\ &= \frac{10}{36}=\frac{5}{18}\end{aligned}

$Die Bedeutung von „ODER“ in der Mathematik$

In der Mathematik umfasst „ $A$ oder $B$ “ drei Möglichkeiten: nur $A$ , nur $B$ oder beide, wenn eine Schnittmenge existiert. Dieses „oder“ ist $inklusiv$ . Im Alltag kann „oder“ dagegen manchmal genau eine von zwei Möglichkeiten meinen.

Auswahl der passenden Formel

Die beiden Formeln unterscheiden sich in einer Frage, nämlich ob die Ereignisse $im selben Versuch$ auftreten können. Die Tabelle ordnet jede Antwort der passenden Formel zu.

Können die Ereignisse gemeinsam auftreten?	Formel
Nein, die Ereignisse überschneiden sich nicht	$P(A \text{ oder } B) = P(A) + P(B)$
Ja, die Ereignisse überschneiden sich	$P(A \text{ oder } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ und } B)$

Die zweite Formel zieht die Überschneidung ab, weil die Ergebnisse, die zu beiden Ereignissen gehören, doppelt gezählt wurden, einmal für $A$ und einmal für $B$ .

Übung

In einer Klasse mit $30$ Schülerinnen und Schülern gehören $18$ zur Mathematik-AG, $14$ zur Naturwissenschafts-AG und $8$ zu beiden Arbeitsgemeinschaften. Eine Person wird zufällig ausgewählt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte Person zur Mathematik-AG $oder$ zur Naturwissenschafts-AG gehört?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie keiner der beiden Arbeitsgemeinschaften angehört?

Ausführliche Lösung

$Aufgabe 1$ . Sei $M$ das Ereignis „gehört zur Mathematik-AG“ und $S$ das Ereignis „gehört zur Naturwissenschafts-AG“. Die $8$ Personen in beiden Arbeitsgemeinschaften sind in beiden Anzahlen enthalten. Bei $18+14$ würden sie deshalb doppelt gezählt. Die allgemeine Additionsregel korrigiert diese Doppelzählung:

n(M \cup S)=n(M)+n(S)-n(M \cap S)=18+14-8=24

$Aufgabe 2$ . Außerhalb beider Arbeitsgemeinschaften bleiben $30-24=6$ Personen. Somit gilt:

P(\text{keine der beiden AGs})=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}

Die beiden Wahrscheinlichkeiten ergeben $4/5+1/5=1$ . Damit ist geprüft, dass die Klasse vollständig in zwei komplementäre Gruppen zerlegt wurde: Personen in mindestens einer Arbeitsgemeinschaft und Personen in keiner der beiden.

Die $Schnittmenge muss genau einmal abgezogen werden$ , weil sie bereits in beiden ursprünglichen Anzahlen enthalten ist. Diese $Komplementkontrolle$ deckt eine ausgelassene oder doppelt gezählte Gruppe auf, bevor das Ergebnis übernommen wird.

Die Wahrscheinlichkeit für mindestens eines von zwei Ereignissen

Zwei Fälle bestimmen, welche Formel gilt:

Die Ereignisse können nicht im selben Versuch auftreten. Sie sind $gegenseitig ausschließend$ .
Die Ereignisse können im selben Versuch auftreten. Sie sind $nicht gegenseitig ausschließend$ .

Der entscheidende Unterschied ist also, ob sich die beiden Ereignismengen überschneiden.

Gegenseitig ausschließende Ereignisse

Gegenseitig ausschließende Ereignisse, auch disjunkte Ereignisse genannt, können $nicht gemeinsam$ in einem Versuch auftreten.

Tritt Ereignis $A$ ein, tritt Ereignis $B$ nicht ein, und umgekehrt.

$Beispiele$ :

Ein Münzwurf ergibt entweder „Kopf“ oder „Zahl“, aber nie beides zugleich.
Zain ist mit dem Motorrad $ODER$ mit dem Fahrrad zur Schule gekommen, sofern jeder Schüler nur ein Verkehrsmittel genutzt hat.

Beim Werfen zweier Würfel: das Ereignis „Die Summe ist $7$ “ $ODER$ das Ereignis „Pasch, also gleiche Augenzahl auf beiden Würfeln“.

Ereignis	Ergebnispaare
Die Summe ist $7$	$(1,6)$ , $(2,5)$ , $(3,4)$ , $(4,3)$ , $(5,2)$ , $(6,1)$
Pasche	$(1,1)$ , $(2,2)$ , $(3,3)$ , $(4,4)$ , $(5,5)$ , $(6,6)$

Kein geordnetes Paar gehört zu beiden Gruppen. Die Ereignisse sind daher gegenseitig ausschließend.

Formel für sich gegenseitig ausschließende Ereignisse

Sind die Ereignisse $A$ und $B$ gegenseitig ausschließend, ist ihre Schnittmenge leer. Für „A ODER B“ werden deshalb nur die beiden Einzelwahrscheinlichkeiten addiert.

P(A \text{ oder } B) = P(A) + P(B)

$Rechenbeispiel$ :

Für den Versuch mit zwei Würfeln:

Wahrscheinlichkeit, dass die Summe $7$ ( $P(S=7)$ ) ist: Es gibt $6$ Paare aus der Gesamtmenge von $36$ , daher ist die Wahrscheinlichkeit $6/36$
Wahrscheinlichkeit für einen Pasch ( $P(\text{Pasch})$ ): Es gibt $6$ Paare unter insgesamt $36$ , also beträgt die Wahrscheinlichkeit $6/36$

Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit für die Summe $7$ ODER einen Pasch:

\begin{aligned}P(S=7\text{ oder Pasch}) &= P(S=7)+P(\text{Pasch}) \\ &= \frac{6}{36}+\frac{6}{36} \\ &= \frac{12}{36}=\frac{1}{3}\end{aligned}

Nicht gegenseitig ausschließende Ereignisse

Nicht gegenseitig ausschließende Ereignisse $können gemeinsam$ in einem Versuch auftreten. Ihre Ergebnismengen haben also eine Schnittmenge.

$Beispiele$ :

Beim Ziehen einer Karte aus einem Standardkartenspiel überschneiden sich die Ereignisse „ein Ass ziehen“ und „eine Herzkarte ziehen ( $\heartsuit$ )“ beim Herz-Ass ( $A\heartsuit$ ).

Beim Werfen zweier Würfel: das Ereignis „Die Summe ist $8$ “ $ODER$ das Ereignis „einen Pasch würfeln“.

Ereignis	Ergebnispaare
Die Summe ist $8$	$(2,6)$ , $(3,5)$ , $(4,4)$ , $(5,3)$ , $(6,2)$
Pasche	$(1,1)$ , $(2,2)$ , $(3,3)$ , $(4,4)$ , $(5,5)$ , $(6,6)$

Das Paar $(4,4)$ gehört zu beiden Gruppen. Die Ereignisse sind daher $nicht gegenseitig ausschließend$ .

Warum reicht einfaches Addieren nicht aus?

Bei $P(A) + P(B)$ wird die Schnittmenge doppelt gezählt: einmal als Teil von $A$ und einmal als Teil von $B$ .

Im Beispiel „Summe $8$ ODER Pasch“ gilt:

$P(S=8)$ : Es gibt $5$ Paare, daher beträgt die Wahrscheinlichkeit $5/36$
$P(\text{Pasch})$ sind $6$ Paare, nämlich $6/36$

Direktes Addieren ergibt $5/36 + 6/36 = 11/36$ . Das Paar $(4,4)$ liegt jedoch in beiden Gruppen. Seine Wahrscheinlichkeit muss einmal abgezogen werden, damit es insgesamt nur einmal zählt.

Formel für sich nicht gegenseitig ausschließende Ereignisse

Für Ereignisse $A$ und $B$ , die sich nicht gegenseitig ausschließen, wird die Wahrscheinlichkeit von „A ODER B“ wie folgt berechnet:

P(A \text{ oder } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ und } B)

Der Term $P(A \text{ und } B)$ ist die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge, in der $A$ und $B$ gemeinsam auftreten. Durch einmaliges Subtrahieren wird $die Paschzählung korrigiert$ .

$Rechenbeispiel$ :

Wir verwenden erneut das Beispiel „Summe $8$ ODER Pasch“:

$P(S=8) = 5/36$
$P(\text{Pasch}) = 6/36$
Das Ereignis „Summe $8$ UND Pasch“ ( $P(S=8 \text{ und Pasch})$ ) enthält genau ein Ergebnis: das Paar $(4, 4)$ . Seine Wahrscheinlichkeit beträgt $1/36$ .

Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit für die Summe $8$ ODER einen Pasch:

\begin{aligned}P(S=8\text{ oder Pasch}) &= P(S=8)+P(\text{Pasch}) \\ &\quad-P(S=8\text{ und Pasch}) \\ &= \frac{5}{36}+\frac{6}{36}-\frac{1}{36} \\ &= \frac{10}{36}=\frac{5}{18}\end{aligned}

$Die Bedeutung von „ODER“ in der Mathematik$

Auswahl der passenden Formel

Die beiden Formeln unterscheiden sich in einer Frage, nämlich ob die Ereignisse $im selben Versuch$ auftreten können. Die Tabelle ordnet jede Antwort der passenden Formel zu.

Können die Ereignisse gemeinsam auftreten?	Formel
Nein, die Ereignisse überschneiden sich nicht	$P(A \text{ oder } B) = P(A) + P(B)$
Ja, die Ereignisse überschneiden sich	$P(A \text{ oder } B) = P(A) + P(B) - P(A \text{ und } B)$

Die zweite Formel zieht die Überschneidung ab, weil die Ergebnisse, die zu beiden Ereignissen gehören, doppelt gezählt wurden, einmal für $A$ und einmal für $B$ .

Übung

In einer Klasse mit $30$ Schülerinnen und Schülern gehören $18$ zur Mathematik-AG, $14$ zur Naturwissenschafts-AG und $8$ zu beiden Arbeitsgemeinschaften. Eine Person wird zufällig ausgewählt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte Person zur Mathematik-AG $oder$ zur Naturwissenschafts-AG gehört?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie keiner der beiden Arbeitsgemeinschaften angehört?

Ausführliche Lösung

n(M \cup S)=n(M)+n(S)-n(M \cap S)=18+14-8=24

$Aufgabe 2$ . Außerhalb beider Arbeitsgemeinschaften bleiben $30-24=6$ Personen. Somit gilt:

P(\text{keine der beiden AGs})=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}