Überlappende Ereignisse A und B

Zwei Ereignisse können gleichzeitig eintreten

Zwei Ereignisse sind $vereinbar$ , wenn sie in demselben Zufallsexperiment gemeinsam eintreten können. In der Sprache der Mengen gehört dann mindestens ein Ergebnis zu beiden Ereignissen.

Ihre Ergebnismengen haben daher eine nicht leere Schnittmenge.

Bei einem Kartenzug und einem Würfelwurf findest du die Schnittmenge, indem du die $Ergebnisse mit beiden Eigenschaften$ auflistest.

Versuch	Ereignis $A$	Ereignis $B$	Schnittmenge
Eine Karte ziehen	Herzkarten	Könige	Herzkönig $K\heartsuit$
Einmal würfeln	$\{2,4,6\}$	$\{4,5,6\}$	$\{4,6\}$

Schnittmenge überlappender Ereignisse

Bei vereinbaren Ereignissen können Ergebnisse zugleich zu $A$ und zu $B$ gehören. Diese gemeinsamen Ergebnisse bilden die $Schnittmenge$ $A \cap B$ .

Die Definition bezieht sich auf die Ergebnismengen: Zwei Ereignisse schließen sich nicht gegenseitig aus, wenn ihre Schnittmenge nicht leer ist.

A \cap B \ne \varnothing

In einer endlichen Ergebnismenge, in der jedes Elementarereignis eine positive Wahrscheinlichkeit besitzt, hat eine nicht leere Schnittmenge ebenfalls eine positive Wahrscheinlichkeit:

P(A \cap B) > 0

Bei unvereinbaren Ereignissen hat die Schnittmenge die Wahrscheinlichkeit $P(A \cap B) = 0$ .

Wahrscheinlichkeit einer Vereinigung berechnen

Bei einer einfachen Addition würde die Schnittmenge $A \cap B$ $doppelt gezählt$ , einmal in $P(A)$ und einmal in $P(B)$ .

Deshalb ziehen wir die Wahrscheinlichkeit der doppelt gezählten Schnittmenge einmal ab. So erhalten wir die $allgemeine Additionsregel$ :

\begin{aligned} P(A \text{ oder } B) &= P(A) + P(B) \\ &\quad{}- P(A \cap B) \end{aligned}

Mit Vereinigungs- und Schnittmengensymbolen:

\begin{aligned} P(A \cup B) &= P(A) + P(B) \\ &\quad{}- P(A \cap B) \end{aligned}

Diese Formel gilt in beiden Fällen. Für unvereinbare Ereignisse ist $P(A \cap B)=0$ , sodass sie sich zu $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ vereinfacht.

Wahrscheinlichkeit für eine Herzkarte oder einen König

Nehmen wir das Kartenbeispiel:

Ereignis $A$ : Eine Herzkarte ziehen ( $\heartsuit$ ). Unter den $52$ Karten sind $13$ Herzkarten. $P(A) = 13/52$ .
Ereignis $B$ : Einen König ziehen. Unter den $52$ Karten sind $4$ Könige. $P(B) = 4/52$ .
Ereignis $A$ $und$ B: Den Herzkönig ziehen ( $K\heartsuit$ ). Es gibt genau $1$ Herzkönig. $P(A \cap B) = 1/52$ .

Die Wahrscheinlichkeit, ein Herz ODER einen König zu bekommen, beträgt also:

\begin{aligned}P(A \cup B) &= P(A) + P(B) \\ &\quad{}- P(A \cap B) \\ &= \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} \\ &= \frac{16}{52} = \frac{4}{13}\end{aligned}

Durch den Abzug von $1/52$ wird der Herzkönig genau einmal gezählt.

Übung

Ein $fairer sechsseitiger Würfel$ wird einmal geworfen. Es sei $A=\{2,4,6\}$ das Ereignis „Das Ergebnis ist gerade“ und $B=\{5,6\}$ das Ereignis „Das Ergebnis ist größer als $4$ “.

Begründe, warum $A$ und $B$ sich nicht gegenseitig ausschließen.
Bestimme $P(A \cup B)$ mit der allgemeinen Additionsregel.
Prüfe den Wert von $P(A \cup B)$ , indem du die Elemente der Vereinigung auflistest.

Ausführliche Lösung

$Aufgabe 1$ . Die Schnittmenge enthält $ein gemeinsames Ergebnis$ , nämlich $6$ :

A \cap B=\{6\}

Die Ereignisse schließen sich daher $nicht gegenseitig aus$ .

$Aufgabe 2$ . Die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse und ihrer Schnittmenge sind

\begin{aligned} &P(A)=\frac{3}{6}, \\ &P(B)=\frac{2}{6}, \\ &P(A \cap B)=\frac{1}{6} \end{aligned}

Nun wenden wir die allgemeine Additionsregel an:

\begin{aligned}P(A \cup B) &=P(A)+P(B) \\ &\quad{}-P(A \cap B) \\ &=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}-\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\end{aligned}

$Aufgabe 3$ . Direktes Auflisten ergibt $A \cup B=\{2,4,5,6\}$ . Die Vereinigung enthält $4$ der $6$ möglichen Ergebnisse. Beide Wege liefern somit $2/3$ .