For AI agents: use /llms.txt for the Nakafa content index.
Angenommen, ein Versuch kann eines von zwei Ereignissen hervorbringen, aber nicht beide. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung heißen solche Ereignisse gegenseitig ausschließend oder disjunkt.
Die Ereignisse und sind , wenn sie in einem Versuch auftreten können. Tritt ein, tritt nicht ein, und umgekehrt.
Ihr wesentliches Merkmal ist eine leere Schnittmenge: Kein Ergebnis gehört gleichzeitig zu Ereignis und Ereignis .
Da die Ereignisse und nicht gemeinsam auftreten können, ist die Wahrscheinlichkeit ihrer Schnittmenge null.
Wir können die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „ und “ (beide treten ein) wie folgt schreiben:
Oder mit dem Schnittmengensymbol:
Bei gegenseitig ausschließenden Ereignissen ist die Schnittmenge leer, also hat sie die Wahrscheinlichkeit null.
Für die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis ODER Ereignis eintritt, nutzen wir die fehlende Überschneidung.
Die beiden Einzelwahrscheinlichkeiten können addiert werden, ohne ein Ergebnis doppelt zu zählen.
Die Formel lautet:
Oder mit dem Vereinigungszeichen:
Dies ist die spezielle Additionsregel für Ereignisse, die sich gegenseitig ausschließen. Bei Ereignissen mit gemeinsamen Ergebnissen muss deren Schnittmenge zusätzlich berücksichtigt werden.
Die folgenden Beispiele zeigen, wann die spezielle Additionsregel gilt:
Münzwurf:
Bei einem einzelnen Münzwurf kann entweder Kopf oder Zahl fallen, aber nicht beides zugleich.
Einen Würfel werfen (einmal):
Betrachten wir zwei Ereignispaare:
Eine Karte ziehen (einmal):
Dieselbe Idee gilt beim Ziehen einer einzelnen Karte:
Ein fairer sechsseitiger Würfel wird einmal geworfen. Es seien und .
Die beiden Ereignisse haben eine leere Schnittmenge und damit kein gemeinsames Ergebnis:
Sie schließen sich daher gegenseitig aus. Jedes Ereignis enthält der gleich wahrscheinlichen Würfelergebnisse. Mit der speziellen Additionsregel folgt
Außerhalb von liegen die Ergebnisse . Somit gilt:
Zur Kontrolle ergeben die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung und die Wahrscheinlichkeit ihres Komplements zusammen .
