Was bedeutet „nicht gegenseitig ausschließend“?
Wir kennen bereits unvereinbare Ereignisse, die nicht gleichzeitig eintreten können. Nun betrachten wir . Zwei vereinbare Ereignisse können in demselben Zufallsexperiment gemeinsam eintreten.
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Wir kennen bereits unvereinbare Ereignisse, die nicht gleichzeitig eintreten können. Nun betrachten wir . Zwei vereinbare Ereignisse können in demselben Zufallsexperiment gemeinsam eintreten.
Dies bedeutet, dass es möglich ist, ein Ergebnis zu erhalten, das zum Ereignis und auch zum Ereignis gehört.
Einfache Beispiele:
Eine Karte ziehen: Du ziehst eine Karte aus einem Standardstapel.
Einen Würfel werfen (einmal):
Bei vereinbaren Ereignissen können Ergebnisse zugleich zu und zu gehören. Diese gemeinsamen Ergebnisse bilden die Schnittmenge .
Die Definition bezieht sich auf die Ergebnismengen: Zwei Ereignisse schließen sich nicht gegenseitig aus, wenn ihre Schnittmenge nicht leer ist.
In einer endlichen Ergebnismenge, in der jedes Elementarereignis eine positive Wahrscheinlichkeit besitzt, hat eine nicht leere Schnittmenge ebenfalls eine positive Wahrscheinlichkeit:
Dies unterscheidet sich stark von sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen, bei denen .
Da und gemeinsam eintreten können, dürfen wir nicht einfach als übernehmen.
Bei einer einfachen Addition würde die Schnittmenge doppelt gezählt, einmal in und einmal in .
Deshalb ziehen wir die Wahrscheinlichkeit der doppelt gezählten Schnittmenge einmal ab. So erhalten wir die allgemeine Additionsregel:
Mit Vereinigungs- und Schnittmengensymbolen:
Diese Formel funktioniert im Allgemeinen sowohl für sich gegenseitig ausschließende als auch für sich nicht gegenseitig ausschließende Ereignisse. (Wenn sie sich gegenseitig ausschließen, ist Null, daher vereinfacht sich die Formel wieder zu ).
Nehmen wir das Kartenbeispiel:
Die Wahrscheinlichkeit, ein Herz ODER einen König zu bekommen, beträgt also:
Durch den Abzug von wird der Herzkönig genau einmal gezählt.
Ein fairer sechsseitiger Würfel wird einmal geworfen. Es sei das Ereignis „Das Ergebnis ist gerade“ und das Ereignis „Das Ergebnis ist größer als “.
Die Schnittmenge enthält ein gemeinsames Ergebnis, nämlich :
Die Ereignisse schließen sich daher nicht gegenseitig aus. Die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse und ihrer Schnittmenge sind
Nun wenden wir die allgemeine Additionsregel an:
Direktes Auflisten ergibt . Die Vereinigung enthält der möglichen Ergebnisse. Beide Wege liefern somit .