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Bei einem Kartenzug und einem Würfelwurf findest du die Schnittmenge, indem du die Ergebnisse mit beiden Eigenschaften auflistest.
| Versuch | Ereignis | Ereignis | Schnittmenge |
|---|---|---|---|
| Eine Karte ziehen | Herzkarten | Könige | Herzkönig |
| Einmal würfeln |
Bei vereinbaren Ereignissen können Ergebnisse zugleich zu und zu gehören. Diese gemeinsamen Ergebnisse bilden die Schnittmenge .
Die Definition bezieht sich auf die Ergebnismengen: Zwei Ereignisse schließen sich nicht gegenseitig aus, wenn ihre Schnittmenge nicht leer ist.
In einer endlichen Ergebnismenge, in der jedes Elementarereignis eine positive Wahrscheinlichkeit besitzt, hat eine nicht leere Schnittmenge ebenfalls eine positive Wahrscheinlichkeit:
Bei unvereinbaren Ereignissen hat die Schnittmenge die Wahrscheinlichkeit .
Bei einer einfachen Addition würde die Schnittmenge doppelt gezählt, einmal in und einmal in .
Deshalb ziehen wir die Wahrscheinlichkeit der doppelt gezählten Schnittmenge einmal ab. So erhalten wir die allgemeine Additionsregel:
Mit Vereinigungs- und Schnittmengensymbolen:
Diese Formel gilt in beiden Fällen. Für unvereinbare Ereignisse ist , sodass sie sich zu vereinfacht.
Nehmen wir das Kartenbeispiel:
Die Wahrscheinlichkeit, ein Herz ODER einen König zu bekommen, beträgt also:
Durch den Abzug von wird der Herzkönig genau einmal gezählt.
Ein fairer sechsseitiger Würfel wird einmal geworfen. Es sei das Ereignis „Das Ergebnis ist gerade“ und das Ereignis „Das Ergebnis ist größer als “.
Aufgabe 1. Die Schnittmenge enthält ein gemeinsames Ergebnis, nämlich :
Die Ereignisse schließen sich daher nicht gegenseitig aus.
Aufgabe 2. Die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse und ihrer Schnittmenge sind
Nun wenden wir die allgemeine Additionsregel an:
Aufgabe 3. Direktes Auflisten ergibt . Die Vereinigung enthält der möglichen Ergebnisse. Beide Wege liefern somit .
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