Einheitensysteme

Messungen brauchen einen gemeinsamen Maßstab

Stell dir den Größenwert $12$ ohne Einheit vor. Sind damit $12 \text{ cm}$ , $12 \text{ m}$ , $12 \text{ kg}$ oder $12 \text{ s}$ gemeint? Die Zahl bleibt gleich, ihre Bedeutung ändert sich vollständig.

Eine Einheit ist $ein festgelegter Maßstab für eine physikalische Größe$ . Messungen verschiedener Personen, Geräte und Orte lassen sich nur vergleichen, wenn ihre Einheiten angegeben und bei Bedarf umgerechnet werden.

Ein Größenwert ist das Produkt aus Zahlenwert und Einheit.

Der Zahlenwert sagt, wie viel gemessen wurde. Die Einheit nennt den Vergleichsmaßstab.

Von vielen Systemen zu SI

Bevor sich ein gemeinsamer Standard durchsetzte, bestanden mehrere Einheitensysteme nebeneinander. Drei davon tauchen häufig in Physikbüchern auf:

System	Beispiel-Basiseinheiten	Wie man sie liest
FPS	$\text{ft},\ \text{lb},\ \text{s}$	Fuß, Pfundmasse und Sekunde
CGS	$\text{cm},\ \text{g},\ \text{s}$	Zentimeter, Gramm und Sekunde
MKS	$\text{m},\ \text{kg},\ \text{s}$	Meter, Kilogramm und Sekunde

In dieser FPS-Zeile bezeichnet $\text{lb}$ die Pfundmasse. Sie darf nicht mit der Pfundkraft verwechselt werden, die häufig als $\text{lbf}$ geschrieben wird.

Ohne Angabe des Einheitensystems lassen sich solche Messwerte nur schwer vergleichen. Deshalb verwendet die moderne Wissenschaft das $Internationale Einheitensystem$ , kurz $SI$ . Die Abkürzung stammt vom französischen Namen Système international d'unités. Auf Englisch heißt es International System of Units. Das Bureau International des Poids et Mesures, kurz BIPM, betreut diesen internationalen Standard.

Das BIPM legt die SI-Definitionen fest, damit die Einheiten einen gemeinsamen internationalen Bezug haben.

SI ist eine Vereinbarung, dass $1 \text{ m}$ , $1 \text{ kg}$ und $1 \text{ s}$ in verschiedenen Schulen, Labors, Fabriken und Ländern dasselbe bedeuten.

Die sieben Basiseinheiten des SI

Die $SI-Basiseinheiten$ sind die Bausteine des Systems. Aus ihnen entstehen Einheiten wie $\text{m}^2$ , $\text{m/s}$ , $\text{N}$ , $\text{J}$ und $\text{W}$ .

Grundgröße	Übliches Symbol	SI-Einheit	Einheitensymbol	Dimension
Länge	$\ell,\ x,\ r$	Meter	$\text{m}$	$[\mathrm{L}]$
Masse	$m$	Kilogramm	$\text{kg}$	$[\mathrm{M}]$
Zeit	$t$	Sekunde	$\text{s}$	$[\mathrm{T}]$
Elektrischer Strom	$I$	Ampere	$\text{A}$	$[\mathrm{I}]$
Thermodynamische Temperatur	$T$	Kelvin	$\text{K}$	$[\Theta]$
Stoffmenge	$n$	Mol	$\text{mol}$	$[\mathrm{N}]$
Lichtstärke	$I_v$	Candela	$\text{cd}$	$[\mathrm{J}]$

Ein Detail führt häufig zu Verwechslungen: Die SI-Basiseinheit der Masse ist $\text{kg}$ . Für eine Angabe in SI-Basiseinheiten rechnest du Gramm daher in Kilogramm um.

\begin{aligned} 1 \text{ g} &= 10^{-3} \text{ kg} \\ 250 \text{ g} &= 250 \times 10^{-3} \text{ kg} = 0{,}25 \text{ kg} \end{aligned}

Abgeleitete Einheiten entstehen aus Rechenoperationen mit Basiseinheiten

Eine abgeleitete Einheit entsteht zusammen mit einer Größe, die aus Grundgrößen aufgebaut ist. Werden Größen in einer Formel $multipliziert oder dividiert$ , geschieht dasselbe mit ihren Einheiten.

Abgeleitete Größe	Größenformel	SI-Einheit	Dimension
Fläche	$A = l \times w$	$\text{m}^2$	$[\mathrm{L}]^2$
Volumen	$V = l \times w \times h$	$\text{m}^3$	$[\mathrm{L}]^3$
Dichte	$\rho = \frac{m}{V}$	$\text{kg/m}^3$	$[\mathrm{M}][\mathrm{L}]^{-3}$
Geschwindigkeit	$v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$	$\text{m/s}$	$[\mathrm{L}][\mathrm{T}]^{-1}$
Beschleunigung	$a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$	$\text{m/s}^2$	$[\mathrm{L}][\mathrm{T}]^{-2}$
Kraft	$F = m \times a$	$\text{N}$	$[\mathrm{M}][\mathrm{L}][\mathrm{T}]^{-2}$
Arbeit	$W = F \times \Delta s$	$\text{J}$	$[\mathrm{M}][\mathrm{L}]^2[\mathrm{T}]^{-2}$
Leistung	$P = \frac{W}{t}$	$\text{W}$	$[\mathrm{M}][\mathrm{L}]^2[\mathrm{T}]^{-3}$

Die Arbeitsformel setzt eine konstante Kraft in Verschiebungsrichtung voraus. Die Formeln für Geschwindigkeit, Beschleunigung und Leistung in der Tabelle liefern Mittelwerte im betrachteten Zeitintervall.

Die Zerlegung einer abgeleiteten Einheit zeigt ihren Ursprung. Kraft wird in Newton angegeben, doch ein Newton setzt sich aus Kilogramm, Meter und Sekunde zusammen.

\begin{aligned} F &= m \times a \\ 1 \text{ N} &= 1 \text{ kg} \cdot \text{m/s}^2 \\ &= 1 \text{ kg m s}^{-2} \end{aligned}

Darauf aufbauend lassen sich Joule und Watt Schritt für Schritt zerlegen.

\begin{aligned} 1 \text{ J} &= 1 \text{ N} \cdot \text{m} = 1 \text{ kg m}^2\text{ s}^{-2} \\ 1 \text{ W} &= \frac{1 \text{ J}}{1 \text{ s}} = 1 \text{ kg m}^2\text{ s}^{-3} \end{aligned}

Große und kleine Werte kompakt schreiben

Sehr große und sehr kleine Werte müssen nicht als lange Nullreihen erscheinen. $SI-Präfixe$ drücken Potenzen von $10$ direkt im Einheitennamen aus.

Kompakte Schreibweise durch metrische Präfixe

Zu den gebräuchlichen Präfixen gehören:

Faktor	Präfix	Symbol	Faktor	Präfix	Symbol
$10^1$	Deka	$\text{da}$	$10^{-1}$	Dezi	$\text{d}$
$10^2$	Hekto	$\text{h}$	$10^{-2}$	Zenti	$\text{c}$
$10^3$	Kilo	$\text{k}$	$10^{-3}$	Milli	$\text{m}$
$10^6$	Mega	$\text{M}$	$10^{-6}$	Mikro	$\mu$
$10^9$	Giga	$\text{G}$	$10^{-9}$	Nano	$\text{n}$
$10^{12}$	Tera	$\text{T}$	$10^{-12}$	Piko	$\text{p}$
$10^{15}$	Peta	$\text{P}$	$10^{-15}$	Femto	$\text{f}$
$10^{18}$	Exa	$\text{E}$	$10^{-18}$	Atto	$\text{a}$
$10^{21}$	Zetta	$\text{Z}$	$10^{-21}$	Zepto	$\text{z}$
$10^{24}$	Yotta	$\text{Y}$	$10^{-24}$	Yokto	$\text{y}$

Die Tabelle enthält die Präfixe von Yokto bis Yotta. Das BIPM führt außerdem Ronna und Ronto für $10^{27}$ und $10^{-27}$ sowie Quetta und Quecto für $10^{30}$ und $10^{-30}$ . Die vollständige aktuelle Liste findest du in der BIPM-Tabelle der SI-Präfixe.

Präfixe in Berechnungen lesen

Ein SI-Präfix kann vor einer $Basiseinheit oder einer abgeleiteten Einheit$ stehen. Kilometer verwendet beispielsweise Meter, Kilowatt dagegen Watt. $\text{km}$ bedeutet daher Kilometer und bleibt über das Präfix mit dem Meter verbunden.

\begin{aligned} 7{,}5 \text{ km} &= 7{,}5 \times 10^3 \text{ m} \\ &= 7500 \text{ m} \end{aligned}

Bei kleinen Größen ersetzt ein Präfix eine Folge von Dezimalnullen durch den Namen einer Zehnerpotenz. Ein Durchmesser von $0{,}10 \ \mu\text{m}$ entspricht:

\begin{aligned} 0{,}10 \ \mu\text{m} &= 0{,}10 \times 10^{-6} \text{ m} \\ &= 1{,}0 \times 10^{-7} \text{ m} \end{aligned}

Die wissenschaftliche Schreibweise trennt die Elektronenmasse in Koeffizient und Größenordnung:

9{,}11 \times 10^{-31} \text{ kg}

Zerlege eine Einheit wie $\text{cm}$ , $\text{mg}$ oder $\mu\text{m}$ zuerst in Präfix und Grundeinheit. Ersetze anschließend das Präfix durch die passende Potenz von $10$ und rechne damit weiter.